Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1
.pdf
§
6)
ПРОИЗВОДНЫЕ
ОТ
ФУНI<ЦИй
y=sin
х;
g=cos
х
73
До тогда
к
а
з
а
те
ль
ст
в
о.
Дадим
аргументу
х
приращение
Лх;
1) 2)
л
. у=SШ
|
u+Лy=sin(x+Лx); |
|
|
||||
( ...1--л |
) . |
2 |
. |
х+лх-х |
COS |
х+лх+х |
|
Х, |
Х -SlПX= |
SШ |
2 |
2 |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= 2 sin ;х cos ( х+ |
|||
~х)
;
3)
4)
|
|
|
2 |
. |
|
Лх |
|
( |
|
+Лх) |
. |
Лх |
|
( |
|
Лх ) |
|||
Лу |
|
|
stn 2 |
cos |
х |
|
2 |
|
s1n 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
лх= |
|
|
|
|
Лх |
|
|
|
=--лх--соs |
|
х+2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Лх |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
1' |
|
Лу |
|
l' |
|
Stn - |
l' |
|
( |
|
+ Лх) |
, |
||||
у |
= |
|
|
|
|
2 |
cos |
х |
|||||||||||
|
1m |
л = |
1m |
-л--. |
1m |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
ЛХ |
О |
х |
|
Лх |
О |
|
~ |
Лх |
О |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
;
но
то
так |
как |
lim |
. Лх |
|
+=1, |
||
|
Stn - |
|
Лх О |
Х |
|
|
т |
|
у'= lim cos (х+ |
;х) =COSX. |
|
Лх О |
|
|
Последнее
равенство
получается
на
том
основании,
что
cos
х
есть непрерывная |
функция. |
|
cosx есть |
||
Теорема 2. |
Производная |
от |
|||
|
если |
у= cosx, |
то у' =-sin |
||
До к аз ат ель ст |
в о. |
Дадим |
аргументу |
||
-sinx, т. е. |
|
х. |
|
х |
приращение |
(111) Лх,
тогда
у+Лу=соs (х+Лх);
л |
л |
x)-cosx= |
y=cos(x+ |
|
|
|
Лу |
|
|
rx=- |
|
|
. Лх |
|
:У= lim |
Stn - |
y' = lim |
-+ |
|
Лх О |
Х Лх О |
_.:.. |
- |
2 |
. |
х+лх-х |
. |
х+лх+х |
= |
|
sш |
2 |
sш |
2 |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
= -2 sin |
2 |
лх sin ( х |
|
in Лх |
|
s д; sin ( х+л;); |
|
т |
|
, |
|
sin (х+ л;) = - lim |
sin (х+ |
Лх-+О |
|
+ л2х
л;);
) |
; |
2
§
7J
ПРОИЗВОДНЫЕ
ПОСТОЯ:ННОй,
СУММЫ,
ПРОИЗВЕДЕНИЯ:
75
Т
е
о
рем
а
3.
Производная
суммы
конечного
числа
дифферен
цируемых функций этих функций*).
равна
соответствующей
сумме
производных
Для случая,
например,
трех
слагаемых
имеем
у=и
(х)
+v(x)
+w
(х),
у'= и'
(х)
+v'
(х)
+w'
(х).
(VI)
До
к
аз
ат
ель
ст
во.
Для
значений
аргумента
х
(аргумент |
х |
в обозначении функции |
для |
краткости |
|
скаем). |
значения аргумента х + Лх |
|
|
||
Для |
имеем |
|
|||
|
|
|
у+Лу= (и+Ли)+ (v+Лv) +(w+Лw), |
||
письма
опу
где Лу, Ли, |
Лv и Лw-приращения функций у, и, v и w, |
ветствующие |
приращению Лх аргумента х. Следовательно, |
Лу=Ли+Лv+Лw |
|
~=~+~+Лw |
|||||||||
|
|
|
|
|
'Лх |
|
Лх |
Лх |
Лх' |
||
, |
= |
l" |
Лу |
l" |
|
Ли |
+ |
l" |
Лv + )" |
Лw |
|
у |
1m |
-т.:- = |
1m |
|
-л |
1m |
-л |
1m |
-л |
||
|
|
Лх |
О LL< |
Лх-+О |
Х |
|
Лх О |
х |
Л..-,.0 |
JQ |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у' =и' (x)+v' (x)+w' (х). |
|
|
||||||
соот
Пр
и
мер
2.
1 у=Зх4-vх,
у'·=З(х')'-
(
х
--1 3
)'
=3-4х3-(-
31
)х
---1 |
1 |
8 |
, |
|
т.е.
Т
е
о р
е
м
а
4.
Производная
от
произведения
двух
дифферен
цируемых функций равна |
произведению |
производной |
||
ции на вторую |
функцию |
плюс произведение |
первой |
|
производную от |
второй функции, т. е. |
|
|
|
первой функ функции на
если
у=иv,
то
у'=и'v+иv'.
(VII)
=
*) Выражение y=u(x)-v(x)
[и (х) +(-1) v (x)l' = и' (х) +[-
v
равносильно y=u(x)+(-l)v(x)
(х)]' =и' (x)-v' (х).
и
у'=
§
71
ПРОИЗВОДНЫЕ
ПОСТОЯННОЙ,
СУММЫ,
ПРОИЗВЕДЕНИ.Я
77
знаменателя |
данной дроби, |
а |
произведением |
знаменателя |
на |
числитель есть разность между
производную числителя и произве
дением
числителя
на
производную
знаменателя,
т.
е.
если
и y=v'
то
,
у
=
u'v-uv' vz
(VIII)
До к функций
аз у,
ат е-л
и и v,
ь с тв о |
Если Лу, Ли и Лv |
соответствующие приращению |
|
суть приращения
Лх аргумента х, то
У
+
л
- У-
и+ли v+лv
'
у'=
lim лх...-о
|
Лу= |
и+ли _!!:_= |
vЛи-иЛv |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
v+Лv |
v |
v (v+Лv) |
' |
|
||||
|
|
vЛи-иЛv |
Ли |
|
Лv |
|
|
|
||
|
Лу |
|
Лх |
|
-v-и- |
|
|
|||
|
|
|
Лх |
|
Лх |
|
|
|
||
|
лх= |
v(v+Лv) |
- |
v(v+Лv) |
|
|
|
|||
|
|
|
Ли |
Лv |
. |
|
Ли |
|
Г |
Ли |
Л |
|
|
-л-v-и-л- |
1 |
о-Л-х |
-ил/~ о-Л-х |
||||
_= lim |
vл1~ |
|||||||||
_f! |
х |
х |
- |
Iim |
|
(v+Лv) |
|
|||
Лх |
Лх-+О |
v(v+Лv) |
v |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Лх |
|
О |
|
|
Отсюда,
заметив,
что
Лv - |
О |
при |
Лх-+ О *), |
, |
u'v-uv' |
|
|
у= |
|
vz |
|
получаем
Пример
5.
у'
Если |
х3 |
|
|
то |
у=--, |
||||
|
cos |
х |
|
|
(х3)' cos х-х3 |
(cos х)' |
|||
|
cos |
х |
|
|
|
2 |
|
|
|
2х2
cos х+х3 cos2 x
sin
х
3
а
м
е
ч
а
н
и
е.
Если
имеем функцию вида
и (х) У=с•
где знаменатель С есть постоянная, то, дифференцируя эту функ |
|
цию, |
нет надобности применять формулу (VIII), а целесообраз |
нее
применять
формулу
(V):
, у=
( 1 |
) ' |
уи |
|
1 =си
,
и' =с·
Конечно,
этот
резуJiьтат
получается
и
по
формуле
(VIII).
Пример
6.
Если
cos х
у=-1-,
то
у'
(cos 7
х}'
sin -- 7
х - •
*)
lim Лх
Лv=О,
О
так
как
v(х)-дифференцируемаяи,
следовате.11ьно,
непре
рывная
функция.
80
ПFОИ3Вf>ДН
ASI
И
Д
ИФ·1
а~-ЕНПИАЛ
1r
л.
111
По |
|
|
t· |
|
Ли |
• |
1· |
|
Gt |
= |
О |
• |
|
)'СЛОВИЮл1~ |
0 |
Лх |
= Ux, |
л:~ |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лх- (} |
в |
равенстве |
(3), |
получим |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
у~= у~и;. |
|||||
Переходя
к |
пределу |
при |
(4)
Пр
им
ер
1.
Пусrь
дана
функция
y=sln
(х2
).
Наt!дем
у;.
Даннуюфунк•
цию |
|
nредставим как функцию |
от |
||
и=х |
2 |
• Находим y~=cos и, и~=2х. |
|||
= cos |
и-2х. |
Подставляя |
вместо |
и |
|
функции следующим образом: |
g=sln и, |
||
Следовательно, no |
формуле (4)у~=у~и;= |
||
его |
выражение, |
оконча1ельно |
nолучаем |
у;= 2xcos |
2 |
). |
(х |
П р и м ер |
2. |
Дана функция |
у=(ln х) |
• Найдем |
у_~. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Данную |
|
функцию nредставим |
следующим |
образом: |
|
3 |
, |
|||||
|
у=и |
|||||||||||
, |
|
|
, |
1 |
, |
Зи2 |
1 |
= 3 |
(ln х)2 |
1 |
|
|
дим Уи = Зи2 |
• |
|
их=- . Следовательно, Ух= |
- |
- |
|
||||||
|
|
|
|
х |
|
|
х |
|
|
|
х |
|
и=lnx.
•
Нахо-
Если
функция
у=
f
(х)
такова,
что
ее
можно
представить
в
виде
у=
F
(и),
и=
q,(v),
v=
,i,(x),
то
нахождение
производной
у~
производится
путем
последователь
ного применения предыдущей |
|
По |
доказанному правилу |
теорему |
для нахождения и~, |
теоремы. |
|
|
|
|
имеем |
у;= у~и;. |
Применяя зту же |
||
будем |
иметь |
и~= u~v;. |
Подставляя |
|
выражение
и~
в
предыдущее
равенство,
получаем
(5)
или
у;=
F~
(и)
q,~
(v)
,i,;
(х).
Пр
им
ер
3.
Дана
функция
y=sln
[(ln
х)
3
].
Найдем
у;.
Представим
дан
ную
функцию
следующим
образом:
y=sin
и,
и=v3,
v=lnx.
Находим
y~=cos
и,
u;=ЗtP, v;=l/x. |
Следовательно, |
по |
формуле |
|
||
= 3 (cos и) v - |
1 |
или |
|
|
, |
|
, |
окончательно Yx=cos [(ln |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
рассмотренная |
функция |
оnределена |
только при |
х |
||
(5) |
получаем |
||
х)3 |
] ,3 |
(ln х)2 |
1 |
- |
|||
> |
|
|
х |
О. |
|
|
|
|
Y-~=y~u~v;= |
• |
Заметим, что |
§
1О.
Произво.п.ные
функций
у=
tg х,
у=
ctg
х,
у==
ln
I
z
1
Т
е
о
р
ем
а
1.
Производная от функции tg |
1 |
х , т. е. |
х равна cos2 |
||
если у= tg х, то у'= со~2х• |
|
(Х1) |
Доказательство. |
Так |
как |
|
sln |
х |
|
|
У= cosx |
' |
|
то по правилу |
t |
дроби |
|
дифференцирования |
|||
получаем |
|
|
|
[
см.
формулу
(VIII)
§
7]
,
У
=
(sin
х)'
cos
x-sln cos2 x
х
(cos
х)'
=
cos
х
cos
x
-sln x(-sin х) |
||
cos |
2 |
х |
= |
cos |
х+ |
2 |
cos |
|
|
|
2 |
sln х
2
х
=
1 соь•
х
•