Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

§3]

МАКСИМУМ

И

МИНИМУМ

ФУНКЦИЙ

149

Аналогичным

образом

теорема

доказывается

и

для

случая

минимума фунkции. Доказанной теореме

метрический факт: если

соответствует следующий очевидный гео­ в точках максимума и минимума функция

9

где

ер

-

угол

между

касательной

и

осью

Ох,

еледует,

что

(jJ

=

О

(рис.

100).

Из

теоремы

1

непосредственно

вытекает

следствие: если при

чениях аргумента х

всех рассматриваемых зна­

функция f (х) имеет произ­

водную, симум

то или

она может минимум)

иметь только

экстремум при тех

(мак­ значе­

ниях,

при

которых

производная

обращается

в

нуль. Обратное

ком значении,

вся­ об­

ращается

в

нуль,

обязательно

существует

.1,~ак­

на рис. 100

при Х= х3

изобра­ произ­

Рис.

102.

в нуль (касательная этой точке функция

горине имеет

ни

максимума,

ни

минимума.

Точно

так

же

функция

у=

102)

при

х

=

=

О

имеет

производную, у'

равную lx=O = Зх

о,

а;

-f

f

х

Рис.

103.

Рис.

104.

Рис.

105.

Мы исследовали тот которого отрезка имеет

случай, когда производную.

функция Как же

во всех обстоит

точках дело в

не­ тех

точках, где что в таких

производная не точках может

существует? Мы покажем быть или максимум, или

на примерах, минимум, но

может

и

не

быть

ни

того,

ни

другого.