Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1
.pdf44
ПРЕДЕЛ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИЙ
[ГЛ.
11
есть |
нуль, то |
теорема о |
пределе дроби |
не |
может |
быть |
применена. |
В этом |
||||
случае требуется |
производить |
специальные |
рассмотрения. |
|
|
|||||||
|
Пр им ер |
4. |
Найти |
_lim |
(х |
2 |
-4)/(х-2). |
Здесь |
анаменатель и числитель |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при
х--+-
2
стремятся
к
Х 2 нулю
и,
следовательно,
теорема
3
неприменима.
Про
изведем
следующее
тождественное
преобразование:
х |
- 4 |
2 |
|
х-2 |
=
(х-2) (х+2) х-2
х+
2
•
Это |
преобразование |
справедливо при |
всех значениях х, |
mличных |
||||||
Поэтому, |
имея в |
|
виду определение предела, |
можем написать |
|
|||||
|
. |
|
х - 4 |
= |
li |
|
(х-2) (х+2) |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
m |
-'----'--'-.,,.....:..-'lim- |
|
|
||
|
|
-- |
|
(х+2)=4. |
||||||
|
1m |
|
|
|||||||
|
«-+ |
2 |
х-2 |
|
х-+2 |
х-2 |
Х-+ 2 |
|
|
от
2.
|
П р и м |
ер |
5. Найти |
lim |
х/(х- 1). |
При |
х--+- l |
знаменатель |
|||||
|
|
|
|
|
x • |
I |
|
стремится (числитель |
стремится |
к |
|||
к |
нулю, а |
числитель |
к |
нулю не |
|||||||||
Следовательно, |
предел |
обратной |
величины есть |
нуль, |
т. |
е. |
|
||||||
|
|
|
|
. |
х-1 |
|
lim |
(х-1) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~-1 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
х |
|
lim х |
|
· |
|
||
|
|
|
|
« ~~ |
|
Т= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х-+ l |
|
|
|
|
стремится единице).
Отсюда
на
основании ·теоремы |
2 |
предыдущего |
параграфа |
lim |
x/(x-l)=oo. |
« • |
1 |
будем
иметь
Теорем а трех функций
4. Если и= и (х),
между соответствующими |
значениями |
z = z (х), v= v (х) выполняются неравен |
ства и~ z ~
стремятся к
v, при одному
этом и (х) и
и тому же
v (х) при Х--+- а
пределу Ь, то z
(или при Х--+- оо)
= z (х) при Х--+- а
(или Д
при о к а
Х--+- з ат
оо) е л
ь
стремится с т в о. Для
к
тому же пределу. определенности будем
рассматри
вать изменение функций при х--+- а. Из
следуют неравенства u-b~z-b~v-b;
неравенств по условию
и ~ lim
z ~ v и=Ь,
lim х а
v
=
Ь. |
Следовательно, |
при
любом
8
>
О
найдется
Х й некоторая
окрестность неравенство
с I
центром и-Ь 1 < 8;
в точке
так же
а, в которой будет |
выполняться |
найдется некоторая |
окрестность |
с центром |
в |
точке а, в |
которой будет выполняться неравенство |
|||||
1v-b 1 < 8. |
В |
меньшей |
из указанных |
окрестностей будут |
выпол |
|||
няться |
неравенства -- 8 |
< и-Ь < 8 и |
- 8 |
< v-b < 8, |
а следова |
|||
тельно, |
будут выполняться неравенства |
- 8 < z-b |
< 8, |
т. е. |
lim z=b.
х а Теорема
5.
Если
при
х--+-а
(или
при
х--+-оо)
функция
у
принимает неотрицательные значения у~ О и при этом стре |
||
мится к пределу Ь, то |
Ь |
есть неотрицательное число: Ь ~О. |
Доказательство. |
|
Предположим, что Ь<О, тогда \y-bl~ |
~1
Ь
/, |
т. |
е.
модуль
разности
I
у-Ь
\
больше
положительного
числа
I
Ь
I
и,
следовательно,
не
стремится
к
нулю
при
Х--+-
а.
48
ПРЕДЕЛ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНIЩИЙ
[ГЛ.
11
Произведя
очевидные
алгебраические
преобразования,
получим
(1+2 п
-
|
1 |
)"=1+1+- (1 |
|
|
l,2 |
•.. +1 |
21 |
|
.•. .. -п |
-2 |
1 |
(1-.!.)(1 |
-!)+ ... |
|
-)+- |
|
|||
п |
1,2,3 |
п |
п |
|
(1-.!.) (1-!) .. • (1•_n-l). |
(2) |
|||
|
п |
п |
п |
|
(
|
Из последнего равенства следует, |
1 |
+ ~)"- возрастающая переменная |
что переменная величина |
|
величина |
при возрастаю |
щем п. |
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
при |
переходе |
от |
значения п к |
значению |
||
каждое |
слагаемое |
|
последней суммы |
возрастает: |
|
||
|
l\ |
(1- |
~) < l\ |
(1- |
п~l) и т. |
д. |
п
+
1
и
добавляется
еще один
член.
(Все
члены
разложения-поло
жительные.) Покажем,
что
переменная
величина
(
1
+
~
)"
ограничена.
Замечая,
что
(
1-
~)
<
1;
(
1-
~)
(
1-
;-)
<
1
и
т.
д.,
из
вы
ражения
(2)
получим
неравенство
(1+
~)"<
1 |
1 |
+ |
+1\+1.;.3+ ... |
+1,2./
...
,п·
Замечая,
далее, |
что |
|
1 |
1 |
|
1,2.3<22 |
• |
_l_<_!_ |
|
1.2.3.4 |
23 |
'
...
,
1.2
1
.....
1 п<2п-1•
:можем
написать |
неравенство |
|
l |
)" |
1 |
1 |
( |
l+п |
|
<1+1+2+22+ |
... +F-Т• |
|
|
|
|
Подчеркнутые члены правой |
части этого неравенства |
геометрическую прогрессию |
со знаменателем q = 1/2 |
образуют и первым
членом ( 1+ ¾)
а =
п<
1, поэтому
1+ [1+ ;
+
;2 =
+ ··+• |
2}-1] |
= |
1+ |
1-(-!-)" |
= 1+ |
1 |
||
|
2 |
|
|
1-2 |
|
[
2,-
( |
; |
y-i]
<
3.
Следовательно,
для
всех
п
получаем
§7) |
|
|
|
число, |
|
|
|
|
|
|
|
Из |
равенства |
(2) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
(1+ |
~у~2. |
49
Таким
образом,
получаем неравенства
2~ (1+ ~у <3.
(3)
Этим установлено, что
Итак, переменная
переменная величина (
величина 1+ ~ У-
( 1+ ~)п ограничена.
возрастающая и огра
ниченная, поэтому на |
основании |
теоремы |
Этот предел обозначается буквой |
е. |
|
Определение. |
Предел переменной |
7 § 5 она имеет предел.
величины (1+ ~)n при
п
-+ оо
называется
*)
числом |
е: |
е= lim |
( |
n• cc |
|
1
+
..!..) n
n.
и
Из неравенства (3) на основании |
|
число е |
удовлетворяет неравенству |
Число |
е-иррациональное число. |
теоремы |
6 § 5 |
следует, что |
2 ~ е ~ 3. Теорема доказана. |
||
Позднее |
будет |
указан метод |
его вычисления сятью верными
с любой знаками
степенью точности. после запятой:
Его
значение
с
де
е
=
2,
7182818284...
Теорема 2. Функция ( 1+ |
~ )х |
конечности, стремится к пределу |
е: |
при
х,
стремящемся
к
бес
lim |
( 1+ .!.)х= е. |
||
Х |
ОО |
|
Х |
Доказ ательс тв о. |
Было |
установлено, |
что
( 1+
~
)n
-+
е
при п-+ оо,
Пусть теперь
если п принимает целые положительные
х стремится к бесконечности, принимая
значения. как дроб
ные, |
так и отрицательные значения. |
|
|
1) |
Пусть х-++ оо. |
Каждое его |
значение |
двумя, положительными |
целыми числами: п ~ х |
заключено между
< п + 1. При этом
*) Можно показать, |
что ( 1+ ~ )п-+е при |
n -++ 00 |
1 |
если |
монотонно возрастающей |
переменной величиной. |
|
|
|
п
не
является