Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

число

х

положительно.

то его изображают точкой Mi,

1

на расстоянии ОМ1 = х1; если число х1

справа

от точки О

отрицательно, то его изображают

точкой

точки О на расстоянии ОМ8= -

х1 (рис.

М

• лежащей слева от

1

1).

Точка О изображает

~

--...1~'!-1·,f-f1-01/-1-,-1-r-1+---<а---.-:tJ

--3-1

1 Z

В

ке

соответствует

единственное

изображаемое ею

число. Эrо дает

х»

и

купности

действительных

действительн.wми

числами

иррациональны.е числа.

В

чисел:

между

двумя

произвольнЬIМU

найдутся

как

рацuоНШtьные,

так и

терминах

геометрических это

предло­

жение формулируется

так:

числовой оси найдутся

как

тоwш.

В

з:аключение отметим следующую

собой

в

известном смысле •мостик

степенью точности выразить с помощью

В самом деле,

пусть

иррациональное

рm§иональнь~х

число а. > О

и

т+

1

•

п

Иррациоимьиое число У2

выражае-кя

рационельпымll'

1,4

и

1,5-с

то•ностью

до

1/10,

1,41

И

1,42-с

ТОЧНОСТЬЮ

ДО

1/100,

1,414

И

1,415-с

ТОЧНОСТЬЮ

ДО

1/1000

И

Т, ,._

действительного числа.

Оп редел е ни е.

Абсолютной

вительного числа х

(обозначается

число, удовлетворяющее

X/=x,

если

х;;,О;

I

х< О.

х =-Х, если

отношение х~ 1х /.

величин.

Рассмотрим некоторые свойства абсолютных

l. Абсолютная величина алгебраической суммы

нескольких

ствителы-шх чисел не больше суммы. абсолютных вели~tин

доказательство. Пусть х+у;;;;,:О,

тогда

1х+у1= х+g ~1х1+1у1 (так как х

~1х\

что и требовалось

доказать.

Проведенное доказательство

распрост.раняется

на любое

число слагаемых.

им:ер ы:

1-2+31

< 1-21+13/=2+3=5

1-3-51=1-Зl+l-5/=3+5=8

2.

Абсолютная величина разности

не меньше

люmНЬlх величин

уменьшаемого и вычитаемого:

\х-у\;;;;,: \xl-lul,

lхl>lиl-

доказательство. Положим x-y=z,

тогда x=y+z

доказанному

У1+1z 1= 1У1+1х-у1,

1х\ = \ У+z 1~1

откуда

у/~\ x-yl.

\х/-1

вошли движение

и

диалектика,

и

благодаря

немедленно

необходимым дифj)еренциальное и

числение».

Переменная величина принимает различные числовые

ния. В зависимости от характера рассматриваемой

задачи

купность

этих

значений может

быть

различная. Например,

температура во-

ды, подогреваемой в

обычных

условиях,

будет

меняться

от

комнатной темпера­

туры,

равной 15-18° С,

до точки кипе­

ния,

100°

С. tПеременная

же

величина

х = cos

а.

может

принимать

все значе-

ния от

-1 до + 1.

величины

гео­

Значения переменной

метрически изображаются точками

чис­

ловой оси.

Так,

значения

переменной

х = cos а. при

всевозможных

значениях

купностью

точек

отрезка

числовой оси

изображаются сово­

-

1 до- 1, включая

и

точки

-

1

и 1

(рис. 2).

всех

числовых

О п р еде

л е н

и е. Совокупность

менной

величины

называется

областью

изменения

значений пере­

этой

перемен­

интервалом называется совокупность всех

между данными

числами а и Ь (а< Ь),

совокупности чисел;

его

неравенств а< х < Ь.

х, заключенных

между двумя данными числами а и

оба числа а и

Ь п р ин ад л еж ат рассматриваемой

Ь,

п_ричем

совокупно­

к промежутку,

а

промежуток, его

то

получается полузамкнутый промежуток (а, Ь],

задать неравенствами

а < х ~ Ь.

всевозможные

Если переменная

х

принимает

который

можно

значения,

боль­