Т а б л и ц а 0. 8

Логические соединители
Символ	Смысл	Символ	Смысл
~ & V	не и или	- - > < - - >	следование (импликация) тогда и только тогда, когда

Истинностное значение ппф

Форма, в которой записывается ППФ (иными словами, метод, которым она конструируется из атомарных высказываний и логических соединителей), называется синтаксисом ППФ. Истинностное значение ППФ называют семантикой или смыслом ППФ. Остается рассмотреть истинностные значения ППФ, включающих логические соединители.

При формальном изложении логики высказывания некоторые соединители считаются исходными (или примитивными), а их смысл определяется таблицей истинности. В этом случае смысл непримитивных соединителей выводится через смысл исходных соединителей. Предположим, что ~, & и V - это примитивные соединители. Их смысл задается табл. 0. 9:

Таблица 0. 9

Смысл соединителей ~, & и V
Р	q	~p	p&q	pVq
Т	Т	F	Т	Т
Т	F	F	F	Т
F	Т	Т	F	Т
F	F	Т	F	F

Теперь можно при помощи примитивных соединителей определить смысл соединителей - - > и < - - > (см. табл. 0. 10).

В таблице истинности (табл. 0. 11) смысл этих соединителей определяется явно.

Значение истинности ППФ, например,

А & В (*)

можно установить только с учетом конкретной интерпретации. Интерпретация ППФ заключается в присваивании истинностных значений каждому атомарному высказыванию, входящему в ППФ. Предположим, что в одной из интерпретаций А имеет значение истина и В - также истина. Тогда истинностным значением ППФ (*) при данной интерпретации будет истина. При другой интерпретации истинностным значением ППФ (*) может быть ложь.

Таблица 0. 10

Определение соединителей - - > и <- - >
Название	Форма записи	Определение
импликация эквивалентность	p - -> q p< - - >q	~pVq (p&q)\/(~p&~q)

Таблица 0.11

Смысл соединителей - - > и < - - >
p	q	p - ->q	р< - - >q	p	q	p - ->q	p< - - >q
Т	Т	Т	Т	F	Т	Т	F
Т	F	F	F	F	F	Т	Т

Семантические свойства ППФ

Предположим, что ППФ, представленная пропозициональной переменной р, истинна при некоторой конкретной интерпретации I. Тот факт, что интерпретация I делает переменную р истинной, можно выразить любым из следующих способов:

I удовлетворяет р.

I есть модель р.

I подтверждает р.

р истинна при I.

Тавтологии и противоречия

Существуют некоторые ППФ, имеющие определенные истинностные значения, обусловленные синтаксической формой этих формул, вне зависимости от значений истинности атомарных высказываний, из которых эти ППФ состоят. Например, значением ППФ

AV~A

всегда будет истина, независимо от значения А. Про такую ППФ говорят, что она тождественно истинна, ее называют тавтологией.

С другой стороны, истинностным значением ППФ

В&~В

всегда будет ложь, независимо от значения В. Про такую тождественно ложную ППФ говоря, что она непоследовательна, ее называют противоречием.