0. 3. Начальный период развития формальной логики Де Морган

Первый шаг к логике высказываний, или исчислению высказываний, бьет сделан учениками Аристотеля, когда они Получили множество правил вывода, которые применимы к высказываниям. Наиболее простым и самым важным из этих правил является правило modus ponens:

Если из Р следует Q, а Р - истинно, то и Q будет истинным.

Следующие шаги в развитии логики высказываний связаны с работами английского математика Де Моргана, выполненными в середине XIX в. Де Морган критиковал Аристотеля за то, что законы логики были записаны на естественном языке. Он полагал, что формальный смысл силлогистических суждений искажается семантикой естественного языка. Он хотел построить чисто формальную систему логики, т. е. язык, дающий возможность выполнять адекватные манипуляции с символами независимо от того, какой смысл приписывается этим символам. В качестве образца он взял алгебраическую форму записи. В выражении х+ у х и у можно интерпретировать как нечисловые величины, а+ может вместо сложения обозначать другую операцию. Правила действий с алгебраическими выражениями имеют исключительно синтаксическую (формальную) природу, поэтому они сохраняют силу даже тогда, когда алгебраические символы интерпретируются иным образом. В силлогизме слова "есть, является", входящие в суждение (например, «все S являются Р»), всегда интерпретировались как отношение включения в класс (в данном примере класс Р включает все элементы множества S). Де Морган хотел освободить слова "есть, является" от этого смысла и распространить их на все отношения, обладающие свойством транзитивности. Поэтому он ввел общее понятие отношения как абстрактного качества, связанного с обладанием любыми разнообразными свойствами (например, транзитивностью, симметрией и рефлексивностью).

Буль

Английский математик Буль, современник Де Моргана, также внес вклад в развитие логики высказываний. Он считал, что главное в логике — это форма, а не содержание. Буль рассматривал логику как разновидность нечисленной алгебры классов. Логика Аристотеля всегда была тесно связана с философией, а Буль принял точку зрения, в соответствии с которой логика вместо этого должна ассоциироваться с математикой. Используя знакомые алгебраические символы, он показал, что некоторые алгебраические правила равным образом применимы к числам, множествам и истинностным значениям высказываний.

Интерпретации алгебраических правил

Рассмотрим пять правил, описывающих алгебраические действия с символами (см. табл. 0. 3). Вначале будем считать, что х и у имеют обычный смысл и обозначают числовые переменные, + обозначает операцию сложения, а * обозначает умножение. Например, если значение х равно 3, а значение у равно 4, то в результате как действия х+у, так и действия у+х получится значение 7.

Далее примем, что х и у — это переменные, значениями которых являются множества, -+ обозначает операцию объединения двух множеств, а* обозначает пересечение двух множеств. Например, если значением х служит множество {1, 2, 3), а значением у — множество (3, 4, 5), то в результате как действия х+ у, так и действия у+ х получится множество {1, 2, 3, 4, 5).

Таблица 0. 3

Правила алгебраических действий
х+ у = у+ x x* у = у* x	коммутативность
x+ (у+ z) = (x+ y)+ z x* (у* z) = (x* у)* z	ассоциативность
x* (у+ z) = (х* у)+ (х * z)	дистрибутивность

В заключение положим, что х и у - это переменные, значениями которых являются высказывания, + обозначает операцию "или",* обозначает операцию "и", а = обозначает логическое равенство. Например, если х — это высказывание со значением истина, а у - это высказывание со значением ложь, то значением как действия х + у, так и действия у + х будет истина.

Операция ~

Приведенные выше правила образуют внутренне непротиворечивый формальный язык, поскольку они сохраняют правильность в трех различных интерпретациях. (Этот язык позже стали называть булевой алгеброй.) К этому языку, при интерпретациях для множеств и истинностных значений, можно добавить еще один символ — ~, который обозначает унарную операцию и ставится перед выражением. Унарная операция - это операция, в которой участвует один аргумент. При интерпретации для множеств символ ~ означает "дополнение для". В этом случае выражение

~ (х* у)

представляет собой дополнение для пересечения двух множеств — х и у. Это дополнение состоит из элементов, которые содержатся либо в множестве х, либо в множестве у, но не в обоих множествах сразу.

В интерпретации для высказываний символ ~ означает "не", т. е. в приведенном выше выражении этот символ обозначает обратное истинностное значение для х* у (т. е. исключающее или для х и у).

Если стоят подряд два символа ~, то они нейтрализуют друг друга. Это правило представлено в табл. 0. 4.

Правила Де Моргана

Де Морган ввел в свой формальный язык два правила, которые применимы при интерпретациях для множеств и высказываний. Они известны как правила двойственности Де Моргана (см. табл. 0. 5). (Совпадают ли эти правила по смыслу с Вашими интуитивными представлениями при интерпретациях для множеств и высказываний?)

	Таблица 0.5
Таблица 0. 4	Правила Де Моргана
Правило двойного отрицания	~ (x+ y) =~x* ~у
~~ х = х	~ (х* у) = ~х+ ~у