Процедуры опровержения

Из определений тождественной истинности и непоследовательности (см. разд. 0. 4) следует, что ППФ будет тождественно инстинной тогда и только тогда, когда добавление в теорию отрицания данной ППФ превратит эту теорию в непоследовательную. С позиций семантики теория будет непоследовательной, если не существует интерпретации, удовлетворяющей всем аксиомам этой теории. С позиций синтаксиса теория будет непоследовательной, если окажется возможным вывести из нее противоречие вида

А&~А

Процедура опровержения — это особый вид процедуры доказательства, при котором используется описанное соотношение между тождественной истинностью и непоследовательностью. Метод, который применяется в процедуре опровержения, заключается в следующем. Для доказательства того, что ППФ является следствием аксиом теории, необходимо показать, что будет возможным вывести противоречие, когда к теории добавляется отрицание данной ППФ.

Для того чтобы дать семантическое объяснение процедуры доказательства через опровержение, воспользуемся особой областью интерпретации, называемой миром Хербранда. Мир Хербранда обладает следующим свойством: ППФ будет следствием аксиом теории, если отсутствует интерпретация мира Хербранда, при которой одновременно и отрицание этой ППФ, и все аксиомы теории были бы истинными. Тем самым для (семантического) понимания того, почему некоторая ППФ является следствием теории, необходимо лишь рассмотреть все интерпретации мира Хербранда.

Мир Хербранда

Мир Хербранда для некоторой теории определяется через обозначения, используемые в этой теории. Основной терм (ground term) - это либо обозначение константы, либо употребление функции, все аргументы которой являются основными термами. Мир Хербранда для некоторой теории состоит из всех основных термов, которые могут быть построены на основе обозначений, используемых в этой теории.

Рассмотрим в качестве примера теорию первого порядка, построенную только из следующих символических обозначений: символы, обозначающие константы, - a, b и с; символы, обозначающие переменные, - х, у и z; символы, обозначающие предикаты, — Р (с одним аргументом) и Q (с двумя аргументами). Символы, обозначающие функции, в данном примере отсутствуют. Поскольку здесь нет обозначений функций, мир Хербранда для данной теории состоит всего лишь из трех символов, обозначающих константы:

а b с

Основание Хербранда

Основная атомарная формула (ground atomic formula) — это атомарная формула, не содержащая переменных в качестве аргументов, т. е. все аргументы являются основными термами. Скажем, в рассматриваемом примере теории Q (a, b) — это основная атомарная формула, a Q (x, у) такой формулой не является. Основание Хербранда для теории - это множество всех основных атомарных формул, которые можно построить из обозначений, используемых в теории. Для рассматриваемого примера теории полный вид основания Хербранда будет таким:

Р (а) Р (b) Р (с)

Q (a, a) Q (a, b) Q (a, с)

Q (b, a) Q (b, b) Q (b, c)

Q (c, a) Q (c, b) Q (c, c)