Метаязык и объектный язык

Ученые-логики иногда считают необходимым провести различие между формальным языком, который они изучают, и тем языком, которым они пользуются при рассмотрении формального языка. Сам формальный язык называется объектным языком, а язык, применяемый для его рассмотрения, называется метаязыком. Объектный язык получил такое название потому, что в его предложениях могут отражаться логические взаимосвязи между реальными объектами. Метаязык описывает истинностные значения обозначений, употребляемых в объектном языке, неформальный смысл обозначений объектного языка, свойства отдельных предложений объектного языка, свойства теорий объектного языка и свойства объектного языка в целом. В данном разделе объектным языком является логика высказываний. При обсуждении логики высказываний в качестве метаязыка применяется подмножество естественного языка. Любое предложение, касающееся свойств любой стороны объектного языка, является предложением метаязыка. Некоторые примеры предложений метаязыка, касающихся высказывания А:

А - истинно.

А - ложно.

Выражение А V ~А логически тождественно истинно.

Неформальный смысл А: "Сегодня идет дождь".

А является логическим следствием теории, определяемой

аксиомами (1-4)*).

Полнота и последовательность теории

Про теорию говорят, что она синтаксически последовательна (т. е. непротиворечива), если из аксиом теории невозможно вывести противоречие. К примеру, теория, в которой можно доказать и р, и ~р, непоследовательна. Про теорию говорят, что она полна, если каждую истинную ППФ можно доказать на основании аксиом этой теории. Последовательность и полнота являются свойствами теории. Предложение

Теория, определяемая аксиомами (1-4), последовательна и полна. является предложением метаязыка.

0. 5. Логика предикатов Атомарные формулы

В логике высказываний элементарным объектом, обладающим значением истинности, является атомарное высказывание, которое никаким образом нельзя разделить на компоненты. В логике предикатов элементарным объектом, обладающим истинностным значением, является атомарная формула. Атомарная формула состоит из символического обозначения предиката и термов, выступающих в роли аргументов этого предиката. В общем случае обозначение предиката — это имя отношения, существующего между аргументами. Поскольку сама атомарная формула построена из других объектов, она обладает гораздо большей выразительной силой, чем атомарное высказывание в логике высказываний.

Атомарная формула записывается как обозначение предиката, за которым в скобках располагаются несколько аргументов. Каждый аргумент — это терм. Общий вид атомарной формулы:

P (tl, t2,..., tn) Здесь Р - обозначение предиката, a t1, t2,..., tn - термы.

Определение понятия "терм"

Терм - это либо константа, либо переменная, либо употребление функции. "Употребление функции" записывается как символическое обозначение функции, за которым в скобках располагается список аргументов. Каждый аргумент сам является термом. Общая форма употребления функции:

f (tl, t2,..., tn)

Здесь f - обозначение функции, a tl, t2,..., tn — термы.

Словарь символических обозначений логики предикатов

В логике предикатов приняты следующие обозначения: буквы а, b, с обозначают константы, х, у, z обозначают переменные, f, g, h обозначают функции, а Р, Q, R используются для обозначения предикатов. Этот словарь можно расширить за счет других обозначений, но предполагаемое использование каждого вводимого обозначения следует оговаривать явно.