Исчисления

Подробный рассказ об истории развития формальной логики в XX в. выходит за рамки данной книги. Одним из факторов, делающих такой рассказ практически невозможным, служит то обстоятельство, что система обозначений, принятых в формальной логике, эволюционировала столь же быстро, как и сама эта наука. Почти каждый ученый-логик двадцатого столетия использовал свою систему обозначений, отличную от систем, употребляемых другими учеными. Это имело место по крайней мере вплоть до недавнего времени, пока не установились в качестве стандартных несколько систем обозначений. В оставшейся части данной главы автор попытался использовать наиболее удобные логические обозначения (символы которых можно напечатать в коде ascii!).

Поэтому вместо исторического рассказа в следующих двух разделах дается неформальный обзор логики высказываний и логики предикатов. Это готовит читателя к обсуждению в разд. 0. 6 правила резолюции - основного правила вывода в логическом программировании. Автор намеренно прибегает к нестрогому стилю изложения. Для полного ознакомления с обсуждаемыми темами читатели могут обратиться к работам, список которых приводится в конце главы.

0. 4. Логика высказываний Высказывания

В соответствии с общепринятым лексиконом логики высказываю и символы А, В. С и т. д. применяются для обозначения атомарных высказываний (т. е. высказываний, которые нельзя разбить на компоненты). Отличительной особенностью высказывания является то, что оно обладает истинностным значением - истина или ложь.

В некоторых случаях полезно представить, что один из этих символов обозначает высказывание, выраженное на естественном языке. Представим, например, что символ А обозначает предложение естественного языка:

Земля вращается вокруг Солнца.

Можно описать эту ситуацию, говоря, что данное предложение является неформальным смыслом А. Поскольку в этом предложении утверждается нечто такое, что мы принимаем за истину, то значением истинности данного предложения будет истина. В общем случае логика высказываний занимается только истинностными значениями символов и формул, построенных из этих символов. Тот факт, что некоторый символ имеет определенный неформальный смысл, с логикой высказываний непосредственно не связан. Неформальный смысл символов, однако, становится важным, когда мы используем методы логики высказываний применительно к конкретной области знаний.

Правильно построенные формулы

Сложные формулы в логике высказываний можно строить путем комбинирования символов, представляющих атомарные высказывания, с логическими соединителями, приведенными в табл. 0. 8.

Сложная формула, включающая логические соединители, называется правильно построенной формулой (ППФ). В лексиконе логики высказываний символы р, q и r обозначают пропозициональные переменные. Пропозициональные переменные используются для обозначения ППФ. ППФ можно определить следующим образом:

1. Символ, представляющий атомарное высказывание (например, А), — это ППФ.

2. Если р и q — это ППФ, то ППФ будут и такие формулы:

ППФ Читается так:

~ р не р

p&q. р и q

pV q р или q

р — — > q если р, то q; р имплицирует q

р < — - > q р тогда и только тогда, когда q;

р эквивалентно q.

Каждое из приведенных выше выражений с р и q называется предложной формой. Предложная форма — это абстрактная спецификация синтаксиса бесконечного числа ППФ, составленных из символов, представляющих атомарные высказывания. Предложная форма — это либо единственная пропозициональная переменная (к примеру, р), либо комбинация пропозициональных переменных, связанных соединителями. ППФ, синтаксически согласующаяся с предложной формой, называется конкретной подстановкой для предложной формы. Например, если А, В и С — это символы, обозначающие атомарные высказывания, то ППФ

A& (BVC)

будет конкретной подстановкой для следующих предложных форм:

(1) р (р обозначает А & (В V С))

(2) р & q (р обозначает А;

q обозначает (В V С))

(3) р& (г V q) (р обозначает А;

r обозначает В;

q обозначает С)