Таблицы истинности

Интерпретация любого выражения этого языка для высказываний может быть представлена таблицей истинности. Например, в табл. 0. 6 приводятся значения истинности некоторых простых выражений.

Таблица 0. 6

х	y	~x	~y	х* у	х+ у	~ (x* у)
Т	T	F	F	Т	Т	F
Т	F	F	Т	F	Т	Т

Вторую строку данной таблицы можно прочесть так: если значением х является высказывание, которое истинно (true) (обозначено как Т), а значением у — высказывание, которое ложно (false) (обозначено как F), то значением истинности ~х будет ложь, значением ~у будет истина, значением х* у — ложь, значением х+ у — истина, а значением ~ (х* у)— истина*).

Импликация

Импликация (т. е. следование) вида

если х, то у

где х и у - истинностные значения, может быть записана как

~х+ у

Точный смысл этого отношения задается в табл. 0. 7.

Интересно отметить, что (хотя это в какой-то степени противоречит интуитивным представлениям) если х - ложно, то у может принимать любые значения, а итоговое значение импликации все равно будет истинно.

Таблица 0. 7

x	y	~х+у	х	y	~х + у
Т	T	T	F	Т	Т
Т	F	F	F	F	Т

Фреже и Пеано

Начало эры современной формальной логики можно связать с работой Готтлоба Фреже, появившейся в 1879 г. Как и его современник Пеано, Фреже стремился разработать чисто формальный логический язык, который мог бы служить основой арифметики. Серьезная проблема для Фреже и Пеано заключалась в необходимости найти логические средства для представления понятия последовательности, что позволило бы формально оперировать с множествами чисел. Фреже считал, что работы Буля и Де Моргана вносят некоторую путаницу, так как в них используется одинаковая система обозначений и для арифметики, и для логики (знаки+,* и т.д.). Фреже создал "концептуальный язык" ("begriffsschift") — символическое исчисление, позволяющее представлять и выполнять действия над чисто логическими формами, которые не зависят от числовых аналогий.

Фреже считал, что интерпретация булевой алгебры с точки зрения высказываний является фундаментальной. В его версии логики высказываний из двух исходных соединителей - "импликация" и "отрицание" - можно вывести все остальные соединители ("и", "или" и т. д.).

Теория отношений

В силлогистической логике принималось, что суждение, обладающее истинностным значением, состоит из субъекта и предиката (см. разд. 0. 2). Другим нововведением Фреже было то, что суждение, обладающее значением истинности, стало считаться состоящим из предиката и некоторого количества аргументов. Для записи таких суждений он применил условные обозначения, сходные с математическими обозначениями функций. Фреже провел аналогию между компонентами суждения и компонентами естественного языка, к примеру, такого предложения:

Вы читаете книгу.

Аргументы - это слова, которые могут изменяться в таких пределах, пока выражение остается осмысленным. Например, слово "книгу" можно заменить на "газету", "Вы" - на "Я", при этом выражение сохранит осмысленность*). Предикат, с другой стороны, — это такая часть выражения, изменение которой не может не повлечь за собой серьезного изменения смысла и даже может привести к бессмыслице. Представьте, к примеру, что произойдет, если слово "читаете" будет заменено на слово "едите".

Целью Фреже было создание общей теории отношений. Разбиение высказывания на предикат и аргументы - это существенная отличительная особенность его теории. Фреже признавал также тот факт, что его теория нуждается в средствах, позволяющих квантифицировать переменные, являющиеся аргументами предиката. После Фреже общая теория отношений получила название логики предикатов.