Хербрандовские интерпретации

Мир Хербранда - это область интерпретации для хербрандовской интерпретации. В хербрандовской интерпретации теории значением каждого основного терма является он сам. Иными словами,

Значением а является а

Значением b является b

и т. д.

В любой конкретной хербрандовской интерпретации каждая основная атомарная формула в основании Хербранда означает либо истину, либо ложь. Для заданной теории существует только такое количество хербрандовских интерпретаций, сколько имеется возможных вариантов приписывания истинностных значений атомарным формулам, входящим в основание Хербранда этой теории.

Одна из хербрандовских интерпретаций основания Хербранда, приведенного выше, имеет вид:

Значением Р (а) является истина

Значением Р (b) является истина

Значением Р (с) является истина

Значением Q (a, а) является ложь

Значением Q (а, b) является истина

Значением Q (a, с) является ложь

Значением Q (b, а) является ложь

Значением Q (b, b) является ложь

Значением Q (b, с) является истина

Значением Q (c, а) является ложь

Значением Q (c, b) является ложь

Значением Q (c, с) является ложь.

В основание Хербранда входят двенадцать формул, поэтому в рассматриваемом примере существуют 2¹² = 4096 возможных хербрандовских интерпретаций.

Хербрандовская модель теории - это такая хербрандовская интерпретация, при которой каждая аксиома теории истинна.

Полезные свойства хербрандовских интерпретаций

Хербрандовские интерпретации обладают полезным свойством: на уровне истинностных значений атомарных высказываний, присутствующих в конкретной теории, всегда существует хербрандовская интерпретация, соответствующая любой возможной нехербрандовской интерпретации. (Это свойство не имеет силы на уровне значений термов, используемых в теории. В нехербрандовской интерпретации значением константы, к примеру, b, будет некоторый элемент области интерпретации, скажем, "Боб". В хербрандовской же интерпретации значением константы, например, той же b, всегда будет она сама.) Данное свойство хербрандовских интерпретаций позволяет сделать следующее заключение: если ППФ будет истинной во всех хербрандовских моделях теории, то она будет истинна и во всех моделях этой теории для всех возможных областей интерпретации и, следовательно, будет следствием данной теории.

Таким образом, с позиций семантики процедуру опровержения можно представить себе так.

Для того, чтобы определить, является ли ППФ следствием теории, нужно взять отрицание этой ППФ.

Надо попытаться найти хербрандовскую модель теории, при которой отрицание ППФ будет истинным.

Если такая модель существует, то рассматриваемая ППФ не может быть следствием данной теории.

Если же такой модели не существует, то ППФ является следствием теории.

Фразовая форма

Фразовая форма логики предикатов — это способ записи формул, при котором употребляются только соединители &, V и ~. Литерал - это позитивная или негативная атомарная формула. Каждая фраза - это множество литералов, соединенных символом V. Негативные литералы размещаются в конце каждой фразы, а позитивные - в начале. Схематический вид фразы:

Р1 V Р2 V … Рn V N1 V N2 V… Nn

Здесь Р1… Рn - позитивные литералы, а N1... Nn — негативные литералы.

Фразу можно рассматривать как обобщение понятия импликации (см. разд. 0. 3). Если А и В - атомарные формулы, то формула

А -> В

может также быть записана как

~А V В

Поскольку ~А - негативно, а В — позитивно, то фразовая форма будет иметь вид:

В V ~А

Альтернативные заключения и необходимые условия

Все позитивные атомарные формулы, входящие во фразу, являются альтернативными заключениями, а все негативные атомарные формулы — необходимыми условиями. К примеру, если С, D, Е и F — атомарные формулы, то фраза

CVD V~E V ~F

гласит, что С или D будут истинными, если одновременно и Е, и F истинны. (Чтобы разобраться в этой трактовке формулы, полезно вспомнить правила Де Моргана, в которых утверждается, что ~Е V ~F эквивалентно

~ (E&F).)

Простейшая фраза содержит только один литерал, позитивный или негативный. Если a, b и с - константы, a Q — предикат с двумя аргументами, то

Q (a, b)

-это фраза, в которой утверждается, что Q (a, b) безусловно истинно. Фраза

~Q (b, c)

означает, что Q (b, с) безусловно ложно. Теория записывается в виде множества фраз. Считается, что эти фразы неявно соединены между собой символом &.

Форма записи с обратной стрелкой

Фразы можно записывать с использованием обратной стрелки импликации, стоящей между позитивными и негативными литералами. Литералы, расположенные по разные стороны от стрелки, соединяются запятыми. Обратная стрелка читается как "имплицируется". Так,

C, D <——E, F

означает то же самое, что и

С V D V ~Е V ~F

Фразы Хорна

Фраза Хорна — это фраза, содержащая только один позитивный литерал. Фраза из предыдущего примера не является фразой Хорна, так как в ней имеются два позитивных литерала. Однако фраза

С V ~Е V ~F V ~G

является фразой Хорна. Если воспользоваться обратной стрелкой, то эта фраза примет вид

С <—— E, F, G