Методы доказательства

В логике предикатов существуют методы доказательства того, является или не является конкретная ППФ следствием аксиом некоторой теории. Как и в логике высказываний, здесь имеются два метода доказательства. Первый из них основывается на семантике используемых ППФ и аксиом, а второй — на синтаксических действиях над аксиомами.

Простой семантический метод доказательства в логике высказываний заключается в анализе всех моделей множества аксиом. Если окажется, что заданная ППФ истинна в каждой из этих моделей, то такая ППФ будет следствием данной теории. Эквивалентный метод в логике предикатов требует исследования множества аксиом для всех возможных областей интерпретации. Однако поскольку количество возможных областей интерпретации бесконечно, то проверить их все невозможно. Поэтому такой метод доказательства не годится для логики предикатов.

Альтернативный семантический метод доказательств а заключается в поиске модели множества аксиом для некоторой области интерпретации, при которой рассматриваемая ППФ ложна. Если такая интерпретация существует, то данная ППФ не будет являться следствием теории. К сожалению, тот факт, что такую интерпретацию обнаружить не удается, вовсе не означает, что данная ППФ является следствием теории.

Для того чтобы воспользоваться синтаксическим методом доказательства, необходимо найти полное множество правил вывода. В разд. 0. 4, в котором излагались сведения о логике высказываний, были упомянуты два подхода к построению полного множества правил — метод естественных рассуждений и метод аксиоматических схем. Метод естественных рассуждений станет пригодным и для логики предикатов, если дополнить его правилами вывода, касающимися ППФ, в состав которых входят кванторы переменных (см. [26]). Метод аксиоматических схем можно адаптировать для логики предикатов, если дополнить его аксиомами, касающимися кванторов переменных (см. [71] или [37]). Полное множество правил вывода для логики предикатов называется исчислением предикатов.

Аксиоматическое определение отношения

В примере с семейным сбором мы, с учетом области интерпретации, тщательно построили семантическое определение отношения "двоюродный брат" путем приписывания истинностных значений каждому конкретному случаю отношения. Было бы желательным, чтобы оказалось возможным (в качестве составной части процесса построения теории некоторой области знаний) определение предиката при помощи аксиом, т. е. синтаксически. Такое определение называется аксиоматизацией, или аксиоматическим определением. Если аксиоматическое определение отношения окажется возможным, то каждый конкретный случай отношения, который считается истинным в заданной интерпретации, можно будет вывести как следствие из аксиом, если воспользоваться синтаксическим методом доказательства. Другими словами, семантическое определение отношения окажется выводимым из его аксиоматического определения при использовании правил вывода.

Пример: натуральные числа

В следующем примере областью знаний является арифметика, а областью интерпретации — натуральные числа (т. е. положительные целые числа и ноль). Здесь не будет излагаться подробная теория натуральных чисел. Читатели, интересующиеся этой теорией, могут обратиться к работе Behnke et al. (1983 г., с. 71-80)*). Отметим, что в данном случае имеется существенное отличие от примера с семейным сбором — область интерпретации теперь бесконечна. Для построения теории этой области необходимо разработать представление любого натурального числа в виде • терма. Для этой цели введем константу а, которой приписывается значение из области интерпретации:

Значением а является 0.

Введем функцию одного аргумента "следующий за", которую обозначим символом s. Значением употребления этой функции всегда является ее аргумент, увеличенный на единицу. Например:

Значением s (a) является 1.

Значением s (s (a)) является 2.

Значением s (s (s (a))) является 3.

и т. д.

Рекурсивное определение отношения

Теперь рассмотрим отношение "является натуральным числом", которое имеет один аргумент. Обозначим это отношение символом N. Отношение, имеющее один аргумент, называется также свойством. В данном случае отношение можно определить при помощи следующих аксиом:

N (a) (1)

x N (x) ->N (s (x)) (2)

Аксиома (1) утверждает, что а - это натуральное число. Аксиома (2) гласит, что число, следующее за любым натуральным числом х, также является натуральным числом.

Если использовать совместно данные аксиомы и полное множество правил вывода логики предикатов, то окажется возможным доказать синтаксически, что отношение, обозначенное символом N, соблюдается для любого терма, который может быть построен при помощи символа а, обозначающего константу, и символа s, обозначающего функцию. Определение N называется рекурсивным, поскольку в аксиоме (2) соблюдение отношения в одном конкретном случае (N (s (x))) зависит от соблюдения этого отношения в другом конкретном случае (т. е. N (x)). Более подробно рекурсия обсуждается в разд. 1. 6.

Рекурсивная перечислимость

Аксиомы (1) и (2) дают конструктивное определение множества натуральных чисел в том смысле, что любое натуральное число может быть построено путем повторяющегося применения к аксиомам правил вывода. Комбинация полного множества правил вывода и двух данных аксиом описывает рекурсивный алгоритм. Здесь описан именно алгоритм, так как описание состоит из исходных формул и правил преобразования этих формул. Алгоритм рекурсивен, потому что сами аксиомы рекурсивны. Говорят, что множество натуральных чисел рекурсивно перечислимо, поскольку оно может быть образовано с помощью рекурсивного алгоритма. В более общем случае множество термов (натуральных чисел или иных объектов), обладающих некоторым свойством, будет рекурсивно перечислимым, если это множество может быть образовано посредством применения рекурсивного алгоритма.

"Больше"

Другим интересным примером отношения из области арифметики может служить отношение "больше", которое можно определить аксиоматически. Данное отношение, имеющее два аргумента, обозначим символами GT (от английских слов greater than). Семантически данное отношение можно определить следующим образом:

Значением GT (s (a), а) является истина.

Значением GT (s (s (a)), а) является истина.

и т. д.

Значением GT (s (s (a)), s (a)) является истина.

Значением GT (s (s (s (a))), s (a)) является истина.

и т. д.

Значением GT (a, а) является ложь.

Значением GT (a, s (a)) является ложь.

Значением GT (s (a), s (a)) является ложь.

и т. д.

Аксиоматическое определение данного отношения, отражающее смысл приведенного семантического определения, будет иметь вид:

x GT (s (x), x) (1)

x y GT (x, y) -> GT (s (x), y) (2)

x ~GT (x, s (x)) (3)

x y ~GT (x, y) -> ~GT (x, s (y)) (4)

Аксиома (1) утверждает, что для каждого натурального числа х число, следующее за ним, будет больше, чем х. Аксиома (2) гласит, что для любых чисел х и у, если х больше у, то и число, следующее за х, будет больше у. Аксиома (3) утверждает, что для любого числа х число х не больше, чем число, следующее за ним. Аксиома (4) гласит, что для любых чисел х и у, если х не больше, чем у, то х также не больше, чем число, следующее за у.

Эти аксиомы позволяют доказать синтаксически, является ли какой-либо конкретный случай отношения "больше" истинным или ложным. Данное определение рекурсивно, так как в аксиоме (2) соблюдение одного конкретного отношения (скажем, GT (s (x), у)) зависит от соблюдения другого конкретного отношения (т. е. GT (x, у)).