Золотий переріз Числа Фібоначчі і золотий переріз

Одним з найбільш відомих математиків епохи Середньовіччя по праву вважається Леонардо Фібоначчі.

За іронією долі Фібоначчі, який вніс видатний внесок у розвиток математики, став відомим в сучасній математиці тільки як автор цікавої числової послідовності, що називається числами Фібоначчі. Ця числова послідовність була отримана Фібоначчі при рішенні знаменитої "задачі про розмноження кроликів". Формулювання і рішення цієї задачі вважається основним вкладом Фібоначчі в розвиток комбінаторики. Саме за допомогою цього завдання Фібоначчі передбачив метод рекурентних співвідношень, який вважається одним з потужних методів рішення комбінаторних завдань. Рекурентна формула, отримана Фібоначчі при рішенні цієї задачі, вважається першою в історії математики рекурентною формулою.

Суть свого "завдання про розмноження кроликів" Фібоначчі сформулював гранично просто:

"Нехай в обгородженому місці є пара кроликів(самиця і самець) в перший день січня ця пара кроликів робить нову пару кроликів, в перший день лютого і потім в перший день кожного наступного місяця. Кожна новонароджена пара кроликів стає зрілою вже через місяць і потім через місяць дає життя новій парі кроликів. Виникає питання: скільки пар кроликів буде в обгородженому місці через рік, тобто через 12 місяців з початку розмноження"?

Місяць	Кількість дорослих пар	К-сть  новонароджених пар	загальна  к-сть пар
1	1	0	1
2	1	1	2
3	2	1	3
4	3	2	5
5	5	3	8
6	8	5	13

Вивчаючи послідовності чисел, що означають кількість пар кроликів, можна встановити наступну закономірність в цих числових послідовностях: кожен член послідовності, починаючи з деякого номера, дорівнює сумі двох попередніх. Якщо тепер позначити n- й член послідовності, що задовольняє цьому правилу через Fn, тоді вказане вище загальне правило може бути записане у вигляді наступної математичної формули:

Fn = Fn - 1 + Fn - 2.

Така формула називається рекурентною формулою.

У математиці під числами Фібоначчі, як правило, розуміється числова послідовність:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Якщо у ряді чисел Фібоначчі узяти відношення наступного члена до попереднього або навпаки, то отримаємо вже знайомі нам числа: 1,618 і 0,618. Причому, чим більше порядкові номери членів, тим точніше виконується " золоте" співвідношення.

Числа Фібоначчі Uk	Відношеннях=Uk/Uk-1	x-Ф
1
1	1,0000000000	-0,6180339887
2	2,0000000000	0,3819660113
3	1,5000000000	-0,1180339887
5	1,6666666667	0,0486326779
8	1,6000000000	-0,0180339887
13	1,6250000000	0,0069660113
21	1,6153846154	-0,0026493734
34	1,6190476190	0,0010136303
55	1,6176470588	-0,0003869299
89	1,6181818182	0,0001478294
144	1,6179775281	-0,0000564607
233	1,6180555556	0,0000215668
377	1,6180257511	-0,0000082377
610	1,6180371353	0,0000031465
987	1,6180327869	-0,0000012019
1597	1,6180344478	0,0000004591
2584	1,6180338134	-0,0000001753
4181	1,6180340557	0,0000000670
6765	1,6180339632	-0,0000000256
10946	1,6180339985	0,0000000098
17711	1,6180339850	-0,0000000037
28657	1,6180339902	0,0000000014
46368	1,6180339882	-0,0000000005
75025	1,6180339890	0,0000000002
121393	1,6180339887	-0,0000000001

Крім того, n- а міра числа Ф виражається чудовою формулою:

де a_n - n- е число Фібоначчі, а b_n - n- ий член послідовності 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ..., що будується за тим же принципом, що і послідовність Фібоначчі.

Як знайти золотий переріз

Ось два прості методи обчислення золотого перерізу.

Перший метод

Якщо узяти два однакові квадрати і поставити сторона до сторони, вийде прямокутник 1х2. Розділіть один з квадратів навпіл і проведіть діагональ в отриманому прямокутнику(із співвідношенням сторін 1х0.5). Сума довжини цієї діагоналі і короткої сторони малого прямокутника буде рівна , 1,6180339+, якщо прийняти сторону квадрата за 1.

Другий метод знаходження золотого перерізу

- розділення відрізку АВ в точці З так, щоб увесь відрізок цілком був довший за його першу частину в тій же пропорції, в якій перша частина

довша за залишок. АВ/АС=АС/СВ=1,6180339

Властивості послідовності Фібоначчі

• Найбільший спільний дільник двох чисел Фібоначчі дорівнює числу Фібоначчі з індексом рівним найбільшому спільному дільнику індексів, тобто: . В наслідок цього:

• ділиться тоді й тільки тоді, коли ділиться на (за винятком =2 );

• кожне третє число Фібоначчі парне ( );

• кожне четверте ділиться на три ( );

• кожне п'ятнадцяте закінчується нулем ( );

• два сусідніх числа Фібоначчі взаємно прості;

• може бути простим тільки для простих m (за єдиним винятком m=4 що пов'язано з ). Зворотнє твердження невірно;

• Використовуючи те саме рекурентне співвідношення, що і на початку, у вигляді , можливо поширити визначення чисел Фібоначчі і на від'ємні індекси:

• Неважко переконатися, що тобто одержуємо таку саму послідовність з перемежуючими знаками.

• Послідовність чисел Фібоначчі є частковим випадком генерованої послідовності, її характеристичний многочлен рівний й має корені і .

• Генератрисою послідовності чисел Фібоначчі є:

• Числа Фібоначчі можна представити значеннями континуум на наборі одиниць: , тобто

, а також ,

де матриці мають розмір , — уявна одиниця.

• Для будь-якого n,

Ця формула надає швидкий алгоритм обчислення чисел Фібоначчі за допомогою матричного варіанта алгоритма швидкого піднесення до степеня. Обчислення визначників дає:

• Відношення є підходящими дробами золотого перетину і, зокрема, .

• Суми біноміальних коефіцієнтів на діагоналях трикутника Паскаля є числами Фібоначчі з огляду на формулу

.

• У 1964 р. J. H. E. Cohn довів, що єдиними точними квадратами серед чисел Фібоначчі є і

• Множина чисел Фібоначчі збігається з множиною натуральних значень наступного полінома двох змінних

де — цілі числа.

 Пропорції Фібоначчі і золотого перерізу в природі і історії

Важливо відмітити, що Фібоначчі як би нагадав свою послідовність людству. Вона була відома ще древнім грекам і єгиптянам. І дійсно, відтоді в природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математиці, фізиці, астрономії, біології і багатьох інших областях були знайдені закономірності, що описуються коефіцієнтами Фібоначчі. Просто дивно, скільки можна вичислити пpи допомозі послідовності Фібоначчі, і як її члени проявляються у величезному до величезній кількості поєднань. Проте не буде перебільшенням сказати, що це не просто гра з числами, а найважливіше математичне вираження природних явищ з усіх коли-небудь відкритих.

Наведені нижче приклади показують деякі цікаві додатки цієї математичної послідовності.

1.Pаковина закручена по спіралі.

Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см Форма спірально скрученої раковини притягнула увагу Архімеда. Річ у тому, що відношення вимірів завитків раковини постійне і дорівнює 1.618. Архімед вивчав спіраль раковин і вивів рівняння спіралі. Cпираль, викреслена по цьому рівнянню, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

2. Рослини і тварини.

Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне і спіралевидне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Cпіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику, в шишках сосни, ананасах, кактусах і так далі .Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Cпіраллю закручується ураган. Перелякане стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривого життя".

Cеред придорожніх трав росте нічим не примітна рослина - цикорій. Придивившись до нього уважно,ми можемо побачити. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид в простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше за перший, знову робить викид в простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другою дорівнює 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і так далі. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися в пропорції золотого перерізу.

3. Космос.

З історії астрономії відомо, що И. Тициус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою цього ряду(Фібоначчі) знайшов закономірність і порядок у відстанях між планетами сонячної системи

Проте один випадок, який, здавалося б, суперечив закону : між Марсом і Юпітером не було планети. Зосереджене спостереження за цією ділянкою неба привело до відкриття пояса астероїдів. Сталося це після смерті Тициуса на початку XIX ст.

Pяд Фібоначчі використовують широко: з його допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних побудов, і будова Галактик. Ці факти - свідчення незалежності числового ряду від умов його прояву, що є однією з ознак його універсальності.

4. Піраміди.

Багато хто намагався розгадати секрети піраміди в Гізе. На відміну від інших єгипетських пірамід це не гробниця, а скоріше нерозв'язна головоломка з числових комбінацій. Чудові винахідливість, майстерність, час і праця аpхітектоpів піраміди, використані ними пpи зведенні вічного символу, вказують на надзвичайну важливість послання, яке вони хотіли передати майбутнім поколінням. Їх епоха була дописемною, доієрогліфічною і символи були єдиним засобом запису відкриттів. Kлюч до геометро-математичного секрету піраміди в Гізе, що так довго був для людства загадкою, насправді був переданий Геродоту жерцями храму, що повідомили його, що піраміда побудована так, щоб площа кожної з її граней дорівнювала квадрату її висоти.

Площа тpикутника

356 x 440 / 2 = 78320

Площа квадpата

280 x 280 = 78400

Довжина ребра основи піраміди в Гізе дорівнює 783.3 футів(238.7 м), висота піраміди - 484.4 футів(147.6 м). Довжина ребра основи, що ділиться на висоту, призводить до співвідношення Ф=1.618. Висота 484.4 футів відповідає 5813 дюймам(5-8-13) - це числа з послідовності Фібоначчі. Ці цікаві спостереження підказують, що конструкція піраміди грунтована на пропорції Ф=1,618. Деякі сучасні учені схиляються до інтерпретації, що древні єгиптяни побудували її з єдиною метою - передати знання, які вони хотіли зберегти для прийдешніх поколінь. Інтенсивні дослідження піраміди в Гізе показали, наскільки великими були в ті часи знання в математиці і астрології. У усіх внутрішніх і зовнішніх пропорціях піраміди число 1.618 грає центральну роль.

5.Людина в золотому перерізі

Думаємо «числами Фібоначчі».

Якщо роботу серця контролюють за допомогою електрокардіограм, то для судження про стан мозкової діяльності застосовують електроенцефалограми.

Численні дослідження показали, що в мозку дорослої людини при різних його станах переважають електричні коливання певних частот. Зміни активації мозку відбувається не безперервно, а тільки дискретно, стрибками, від одного рівня до іншого. Кожному стану мозку відповідають свої специфічні хвилі електричних коливань. Неважко помітити, що граничні частоти (верхні і нижні) ритмів мозку або точно відповідають числам Фібоначчі, або дуже близькі до них, а відносини тяжіють до золотої пропорції (відношення граничних частот при ритмі розумової роботи близько до квадрату золотої пропорції).

Крім значень граничних частот електричних коливань мозку різних ритмів, електричні коливання мозку характеризуються і іншими величинами. Однією з таких характеристик є середнє геометричне значення крайніх частот. Середня геометрична частота ділить діапазон хвилі мозку на високочастотну і низькочастотну області (смуги). Ставлення цих смуг є постійна величина для даної хвилі - інваріант хвилі. Цей інваріант радянські вчені Я.А і А.А. Соколови взяли за основну характеристику ритмів мозку. Для β - ритму. Відповідального за розумову діяльність людини, цей інваріант виявився близьким до золотої пропорції.

Коли дослідник. Вивчаючи ритми мозку, отримує ряд характеристик, він намагається знайти зв'язок між ними те, що об'єднує ці коливання в одну систему. Таке завдання виникла і у Соколових. Її рішення призвело до створення стрункої теоретичної моделі електронних коливань мозку, яка описується простий і дуже красивою формулою: bp-bg = 1, де p = 2,3,4, а g = 1,21. Коріння цих рівнянь і є інваріантами різних ритмів ЕЕГ. Але, вирішуючи це рівняння, автори отримали шість інваріантів, похідних від золотої пропорції. Крім відомих чотирьох ритмів були отримані інваріанти зі значеннями 1,272 і 1,221. Соколов вважають, що ці ще не виявлені дослідами, але отримані в результаті теоретичних розрахунків, інваріанти характеризують властивості гіпотетичних ритмів g і q. Розрахунки показали, що у g-ритму граничні частоти 55118, а у q-ритму = 118-225гц. Відомо, що активність діяльності мозку зростає з ростом частоти електричних коливань. Тому можна припускати, що ритми g і q домінують при найбільш інтенсивної розумової роботи - творчої діяльності мозку.

Підтвердженням цієї гіпотези можуть служити висловлювання багатьох вчених про характер їх творчих відкриттів, інтуїтивного осяяння, яке як блискавка пронизує мозок. Очевидно, порівняння творчого акту зі спалахом блискавки не випадково - воно відображає високочастотний ритм електричних коливань мозку, відповідальний за найбільш інтенсивну творчу діяльність людини.

Отже, теоретична модель Соколових виходить з семи електричних ритмів мозку утворюють наступний ряд величин: 2,5; 5,3; 10,2; 22,1; 43,8; 80; 162,9. Відразу ясно що, середня частота кожного наступного ритму ЕЕГ в два рази більше, ніж у попереднього ритму. Це дозволяє описати всі сім ритмів одним рядом геометричної прогресії 1,2,4,8,16,32,64 або загальною формулою f = 2, де n = 0,1,2,3,4,5,6.

Середнє відхилення отриманого ряду чисел від співвідношення середніх геометричних частот ритмів мозку близько до чотирьох відсотків. Отже, теоретична модель системи ритмів мозку, описувана геометричною прогресією виду 2, дуже точно відповідає сукупності експериментальних даних.

Гонки по спіралі.

Виходить, що система електричних коливань мозку являє собою згортаючу в часі спіраль геометричній прогресії, з наростаючою частотою коливань кожного наступного дискретного рівня діяльності мозку. Але ж ця спіраль ритмів ЕЕГ відображає і еволюцію організмів. В процесі еволюції організмів від найпростіших до найбільш складних відбувалося зростання числа ритмів мозку і підвищення їх частоти. Може бути, не випадково, що еволюція планети в цілому, виражена в її геологічної історії, розгорталися за однією і тією ж спіралі - спіралі геометричній прогресії, що відбиває самофокусировки розвитку, самоускоренія власного (геологічного, біологічного) часу систем.

І знову, як і в характері розташування планет Сонячної системи, дві основні закономірності розвитку (по ступеневій залежності і «по Фибоначчи») взаємно переплітаються, об'єднуються і поєднуються в найрізноманітніших варіантах.

Ритми мозку і серця відображають тимчасову організацію людини, але коріння, витоки цієї організації залишаються невідомі.

У майбутнє крізь «золотий перетин».

Білки є складовою частиною найвищих організмів. Білки - це полімери, до складу яких входить велика кількість різних амінокислот. Молекулярна маса білків коливається від 10000 до декількох мільйонів. Раніше в складі білків налічували двадцять амінокислот, а зовсім недавно відкрили ще одну, невідому раніше науці, амінокислоту, яку назвали амінолімонной. Не простежується Чи й тут зв'язок з числами Фібоначчі.

Дуже цікаві результати отримав Московський вчений Б.І. Курганов, що займається вивченням ферментів. Встановлено, що ферменти в організмах схильні утворювати впорядковані структури - мультиферментного комплекси. Вони утворюють чотири різні композиції, до складу яких входить 1,5,13 і 21 молекула гликолитических ферментів. Схоже, що й еволюція ферментів здійснюється відповідно до розгортанням чисел Фібоначчі. Відсутність деяких членів цього ряду може бути викликано природним відбором або недостатньою вивченістю.

Білків в організмі людини дуже багато, причому найрізноманітніших. Їх властивості і склад визначають послідовністю розташування амінокислот в полімерного ланцюга і структурою. Сховищем «плану будівництва» молекул білка, вмістилищем інформації є молекули дезоксирибонуклеїнової кислоти (ДНК) і молекули рибонуклеїнової кислоти (РНК). У цих величезних молекулах міститься найважливіша інформація про відтворення, побудові і життєдіяльності організму.

Механізм кодування спадкової інформації в молекулах ДНК і РНК остаточно не вивчений. Але основні риси хімічної будови і структури ДНК і РНК вже відомий. ДНК і РНК являють собою полімери, основне повторюється ланка цих полімерів - нуклеотиди. Нуклеотид складається з тих залишків:

1. Залишку молекули фосфорної кислоти.

2. Залишку цукру.

3. Залишку азотовмісні органічні основи з циклічною структурою.

Органічними підставами нуклеїнових кислот є пуринів і піримідинів. Вони утворюють п'ять найбільш поширених азотовмісних підстав - нуклеотидів, що входять до складу ДНК і РНК: цитозин (Ц), тіамін (Т), урацил (У), гуанін (Г) і аденін (А).

Для синтезу кожного з білків необхідний величезний обсяг інформації. Адже білки печінки, наприклад, зовсім не схожі на білки волосся.

Молекули ДНК є первинним носієм генетичної інформації. Ця інформація передається з ДНК клітинного ядра на молекули РНК. Молекула ДНК може, роз'єднаються на дві половинки, і кожна з них служить як би матрицею для синтезу на ній молекули РНК. Новоутворена молекула РНК - ця «сходи з поручнями з одного боку» - служить, в свою чергу, матрицею для синтезу білків.

У молекулах ДНК завжди міститься приблизно рівне число нуклеотидів - одиниць Т і А, а також рівне число одиниць Ц і Г. пари Т і А, а також Ц і Г пов'язані один з одним. Генетичний код і визначається, за сучасними уявленнями, комбінацією цих підстав в послідовності, наприклад, АТ, АТ, ГЦ, АТ, ГЦ, АТ, ГЦ, ГЦ, ГЦ і т.д.

Сутність проблеми генетичного коду зводиться до пізнання того, які саме поєднання нуклеотидів призводять до кодування відповідної амінокислоти у структурі білка. Один нуклеотид ДНК не може кодувати одну амінокислоту, бо різних нуклеотидів усього лише чотири. Пар нуклеотидів також не вистачає для кодування всіх 20 амінокислот, бо таких пар може бути всього 16. Якщо взяти комбінації з трьох нуклеотидам, то отримаємо 64 поєднання, що достатньо для кодування всіх амінокислот. Одиниця коду, що передає при синтезі білка відомості про одну амінокислоті, отримала назву кодону.

Зараз визначено триплети - кодони для 20 амінокислот. При цьому було встановлено, що одна і та ж амінокислота може бути кодована кількома різними триплетами. Це схоже на синоніми в мові - різні слова виражають однакову поняття.

У синтезі молекул білка беруть участь також рибосоми, молекули транспортної РНК, АТФ і ряд активуючих ферментів. У клітинах було знайдено 20 різних транспортних РНК і 20 різних ферментів.

Вже давно було встановлено, що деякі загальні принципи формування складних систем - від поєднання атомів в молекулах, молекул у клітинах організму, клітин в організмах і до організмів в екосистемах - аналогічні тим принципам, за якими слова будуються з літер, пропозиції зі слів, а складні звернення з фраз.

Першим елементом інформації в мові є звук, буква. Звуки поділяються на приголосні і голосні. З букв становлять склад - поєднання голосних і приголосних звуків - основа людської мови. З складів складають слова, причому деякі слова складаються з одного складу. І зі слів складають пропозиції (фрази), з пропозицій абзаци, які становлять закінчену думку. Наступним рівнем мовної інформації буде твір - оповідання, роман, книга. І, нарешті, останнім, найбільш високим рівнем буде творча спадщина якого автора, сума всіх його творів.

Аналогічна ієрархія рівнів кодування інформації простежується і в генетиці. Літерами тут є нуклеотиди (Г, А, Л, Ц, Т), складами - триплети, словами - амінокислоти, пропозиціями - білки, абзацами - клітини, творами - органи, і, нарешті, сума всіх творів - організм. Отримали сім рівнів кодування генетичної інформації, її зберігання та відтворення.

На кожному рівні генетичного кодування і передачі інформації вона підсумовується, наслідуючи інформацію нижчих рівнів, і доповнюється деякою кількістю нової інформації. Інформація безупинно наростає не тільки як сума бітів первинної інформації, а також шляхом безперервного доповнення нової інформації, відповідно до еволюцією організму - від реплікації ДНК до утворення клітини, органів і цілісного організму.

Можливо, що й тут виявляються деякі риси розвитку системи в міру її ускладнення у відповідності з розгортанням ряду чисел Фібоначчі. Це проявляється в рівнях кодування.

2 - пуринів і піримідинів.

2 - число пуринових нуклеотидів.

3 - число піримідинових нуклеотидів.

5 - загальне число нуклеотидів.

21 - число різних амінокислот (слів).

146 - число амінокислот в білковій ланцюга гемоглобіну (144 - число Фібоначчі).

Як бачимо. Уже на молекулярному рівні організації різних організмів виявляються закономірності золотий пропорції і чисел Фібоначчі.

Очевидно. Розвиток молекул живого визначається дією декількох закономірностей. Ще не з'ясовані, наприклад, закономірності в числі хромосом. Є носіями молекул ДНК, в рослинах і тварин різних видів. Число хромосом тут змінюється дуже широко - від 6 у комара до 98 у річкового рака. У деяких видів число хромосом відповідає чи близько числах Фібоначчі, наприклад. 8 - у мухи-дрозофіли. 14 - у жита, 20 - у кукурудзи, 34 - у соняшнику, 54 - у вівці.

Вище ми вже писали про спіральності як характерну рису будови організмів. Виявилося. Що спіральність проявляється навіть на клітинному рівні організації, у будові молекул живих організмів. Англійський вчений Е. Сіннота вказує у своїх працях, що спіральність в багатьох випадках є відмінною особливістю протоплазми; напрямки її руху в клітці теж спіральне. Зростання самих клітин теж може бути спіральним. Не випадково носії генетичної інформації молекул ДНК і РНК побудовані за законом спіралі. Радянські вчені Б. Вайнштейн і М. Кисельов спостерігали, як білкові молекули, отримані в результаті «роздроблення» вірусу, знову збиралися разом у відповідних умовах і укладалися за правилом спіралі. Природно виникає питання: чи не тут була закладена природою вихідна інформація спірального виду організмів?

Числа Фібоначчі(обчислення за допомогою циклу while і рекурсії)

Числа Фібоначчі - це ряд чисел, в якому кожне подальше число дорівнює сумі двох попередніх : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 і так далі

Формула:

F1 = 1

F2 = 1

Fn = Fn - 1 + Fn - 2

Приклад обчислення :

F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2

F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3

F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5

F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8

і так далі

Обчислення n- го числа ряду Фібоначчі за допомогою циклу

Алгоритм

• Ввести два початкові значення ряду(fib1 і fib2).

• Ввести номер визначуваного елементу.

• Виконувати нижченаведені дії кількість разів

а)Це ціле число n(>1).Послідовність чисел Фібоначчі Fк опредиляется

таким чином:

F1 =1 F2=1, Fk= Fk - 2 + Fk - 1, K= 3,4, ... .

рівне за величиною номеру визначуваного елементу, зменшеному на дві одиниці(оскільки перше і друге значення ряду вже відомі).

б)Скласти fib1 і fib2, присвоївши результат третьої змінної(fib _ sum).

в)Поміняти початкові значення: fib1 = fib2, а fib2 = fib _ sum

Код на Python

fib1 = 1

fib2 = 1

n = input("Значення якого елементу ряду Фібоначчі ви хочете упізнати? ")

n = int(n) # перетворення в ціле число

i = 2

while i < n:

fib _ sum = fib2 + fib1

fib1 = fib2

fib2 = fib _ sum

i += 1

print(fib _ sum)

Узагальнені числа Фібоначчі

Розглянемо важливий математичний об'єкт, що називається Трикутником Паскаля. А тепер виконаємо деякі " маніпуляції" над Трикутником Паскаля. Зрушимо кожен ряд Трикутника Паскаля на один стовпець управо відносно попереднього ряду. В результаті такого перетворення ми отримаємо наступну числову таблицю, звану 1-Треугольником Паскаля.

1-Трикутника Паскаля

1	1	1	1	1	1	1	1		1		1
1	2	3	4	5	6	7	8		9		10
		1	3	6	10	15	21		28		36
				1	4	10		20		35		56
						1		5		15		35
										1		6
2	3	5	8	13	21	34	55		89		144

Дуже просто довести, що сума біномних коефіцієнтів в n- му стовпці 1-Трикутника Паскаля дорівнює числу Фібоначчі Fn+1. Це означає, що якщо ми рухатимемо уздовж нижнього ряду 1-Трикутника Паскаля, починаючи з 0-го стовпця, ми отримаємо ряд Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...! І далі, якщо ми зрушимо початковий Трикутник Паскаля на p стовпців управо відносно попереднього ряду(p = 0, 1, 2, 3, ... ), ми отримаємо числову таблицю, що називається p- Трикутником Паскаля. Ясно, що 0-трикутник Паскаля, тобто p- Трикутник Паскаля, відповідний p = 0 є ні що інше, як початковий Трикутник Паскаля. Наприклад, p- Трикутники Паскаля, що відповідають p = 2 і p = 3, мають наступний вигляд відповідно: 2-Трикутник Паскаля 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1         1 2 3 4 5 6 7 8 9 10         1 3 6 10 15 21 28         1 4 10 20         1 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60 3-Трикутник Паскаля 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1         1 2 3 4 5 6 7 8 9         1 3 6 10 15         1 1 1 1 1 2 3 4 5 7 10 14 19 26

Підсумовуючи біномні коефіцієнти в стовпцях 2 - і 3-Трикутника Паскаля, ми отримаємо дві нові числові послідовності, що мають наступні властивості : n- й член послідовності

1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, ...

починаючи з n = 4 дорівнює сумі(n - 1) -го і(n - 3) -го членів, а n- й член послідовності

1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, ...

починаючи з n = 5 дорівнює сумі(n - 1) -го і(n - 4) -го членів.

Ці приклади надають нам право ввести наступне визначення.

Визначення.

Для заданого p = 0, 1, 2, 3, ... числові послідовності Fp(n), що задаються наступним рекурентним співвідношенням

Fp(n) = Fp(n - 1) + Fp(n - p - 1) c n>p+1; (1)

Fp(1) = Fp(2) =... = Fp(p+1) = 1 (2)

називаються p- числами Фібоначчі. Ми можемо побачити з p- Трикутника Паскаля, що сума біномних коефіцієнтів n- го стовпця p- Трикутника Паскаля дорівнює p- числу Фібоначчі Fp(n+1).

Таким чином, ми виявили нескінченну кількість нових числових послідовностей, що складаються з p- чисел Фібоначчі(p = 0, 1, 2, 3, ...). Ці числові послідовності включають двійкову послідовність(p = 0) і класичні числа Фібоначчі(p = 1).