21.Пропедевтика геометрії 1-6 класах

Початкова школа.Найважливішими завданнями курсу математики початкової школи, що стосуються про­педевтики систематичного курсу геометрії, є: ознайомлення учнів з основними величинами та їх вимірюванням (довжини відрізків, площі фігур); формування уявлень про деякі геометричні фігури та їх властивості; вироблення потрібних гра­фічних умінь.

Розглянемо, як здійснюється підготовча робота щодо геометричного матеріалу в 1-4 класах (у трирічній початковій школі зміст навчального матеріалу побудований в тій самій послідовно­сті, але вивчається протягом меншого навчального часу).

У 1 класі на наочно-інтуїтивному і оперативному рівнях (учні виконують побудови, практичні дії з фігурами) вво­дяться: круг, трикутник, квадрат, чотирикутник, п'ятикутник. Учні ознайомлюються з точкою і відрізком, їх зображенням, до­вжиною відрізка. Вводиться одиниця довжини - сантиметр, піз­ніше - дециметр, розглядається поняття «відстань». Формуються уміння вимірювати довжини відрізків, будувати відрізок заданої довжини за допомогою лінійки; розпізнавати многокутники.

У 2 класі учні далі виконують вимірювання і побу­дову відрізків, розпізнають знайомі фігури. Вводяться нові фігу­ри - ламана, многокутник. Вимірюється довжина ламаної і зна­ходиться периметр многокутника. Вивчаються кути многокутни­ка, прямий кут, вводяться прямокутник, квадрат, коло і центр кола. Учні вчаться будувати прямокутники і квадрати на папері у клітинку, коло - за допомогою циркуля.

У 3 класі розглядається буквене позначення геомет­ричних фігур. Вперше вводиться поняття площі фігури як розмі­ру частини площини, обмеженої фігурою. Учні вивчають одиниці площі: квадратний сантиметр, квадратний дециметр. Обчислю­ють площі фігур методом підрахунку. Формується уміння буду­вати прямокутник і квадрат за даними довжинами сторін (по клі­тинках зошита). Продовжується розв'язування вправ на знахо­дження периметра многокутника.

У 4 класі учні далі вивчають міри площі (вво­диться крім відомих вже квадратного сантиметра і квадратного дециметра нова одиниця - квадратний метр), визначають площі прямокутників та інших фігур за допомогою палетки.

Особливістю методики вивчення геометричного матеріалу в початковій школі є широке використання конкретно-індуктив­ного методу, наочності і практичних дій учнів. На основі наочного ознайомлення з моделями та рисунками учні повинні навчитися вільно розпізнавати простіші геометричні фігури на оточуючих предметах, моделях, рисунках, оволодіти навичками побудови та вимірювання. На цьому етапі навчання не передбачено введення означень геометричних фігур, проведення дедуктивних мірку­вань, крім, можливо, простіших дедуктивних висновків.

Курс математики5-6 класів.На цьому етапі навчання дещо поглиблюються і розширюються відомості про знайомі учням з початкової школи фігури, а також вводяться нові фігури і геометричні поняття. Зокрема, учні далі вивчають відрізки і їх вимірювання, але при цьому звертається увага на те, що відрізок коротше будь-якої іншої лінії, яка з'єднує його кінці, що довжина відрізка, який складається з кількох від­різків, дорівнює сумі довжин його частин. Отже, всі теоретичні факти, що стосуються геометричних величин і формулюються в курсі геометрії у вигляді аксіом вимірювання, на цьому етапі за­своюються на рівні наочно-дійового мислення.

У 5 класі учні ознайомлюються з новими геомет­ричними фігурами: промінь (як фігура, утворена продовженням в один бік відрізка), пряма (як фігура, утворена продовженням від­різка в обидва боки), дістають уявлення про площину як образ реальних об'єктів (поверхня скла, спокійного водоймища тощо). Безпосередньою побудовою вводяться: поняття кута, його видів (прямий, гострий, тупий), одиниця вимірювання кутів. Фор­мується уміння вимірювати кути транспортиром і будувати кути даної величини. Учням уже відоме поняття площі, вони вміють обчислювати площі квадрата і прямокутника, однак на цьому етапі навчання вводяться формули площі прямокутника і квадра­та (S=а², S=аb), нові одиниці площі (гектар, квадратний кіло­метр). Учні вперше ознайомлюються з просторовою фігурою - прямокутним паралелепіпедом, з новою геометричною величи­ною - об'ємом, його одиницями, розв'язують вправи на обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда.

У 6 класі вводяться формули довжини кола і площі круга - відомих з початкової школи геометричних фігур. Вводяться: нова фігура - круговий сектор; нові геометричні тіла призма, піраміда, циліндр, конус.

Важливими для підготовки до вивчення систематичного курсу геометрії є відомості про перпендикулярні і паралельні прямі, про побудову їх лінійкою і косинцем. На рівні практичних дій (побу­дови) учні ознайомлюються з фактами, які стверджуються в курсі геометрії аксіомою паралельних і теоремою про можливість про­ведення через дану точку єдиної прямої, паралельної даній.

На відміну від початкової школи в 5-6 класах теоретичний рі­вень викладу геометричного матеріалу вищий. Окремі поняття вводяться на рівні означень (розгорнутий кут, паралельні прямі тощо), проводяться нескладні дедуктивні міркування. Разом з тим, як і в початковій школі, при вивченні елементів геометрії мають переважати конкретно-індуктивний метод навчання, широке залу­чення наочності, практичних дій учнів з моделями і виконання ними зображень фігур, побудов лінійкою, косинцем, циркулем.

26.Диференціація навчання – система навчання, при якій кожен учень, оволодіваючи деяким мінімумом загальноосвітньої підготовки, що є загально значимою, і забезпечує можливість адаптації в умовах життя, що постійно змінюється, отримує право і гарантовану можливість приділяти переважну увагу тим напрямкам, які в найбільшій мірі відповідають його схильностям та інтересам.

Рівнева д.н. означає, що учні, навчаючись в одному класі, за однією програмою та підручником, різні учні мають право і можливість обрати обсяг і глибину засвоєння даного навч. матеріалу, тобто можуть засвоювати навч. мате. На різних рівнях вимог до матем. підготовки. Рівні – середній, достатній, високий.

Профільна д. н. – розуміють орга форму навч, при якій навч. класи, групи формуються за певною спільною ознакою і навчання проводиться за різними навч. планами і програмами з максим. урахуванням вікових та індивідуальних можливостей учнів і потреб проф. навч.

27.Процес навчання - двосторонній процес взаємодії між тим, хто вчить, і тим, хто навчається. Нагадаймо, що з курсу педагогіки закономірності процесу навчання, що об'єктивно існу­ють, виступають як основні вимоги до практичної організації нав­чального процесу. Вони дістали назву дидактичних принципів. У посібнику виділяється вісім дидактичних принципів: 1) науковості й ідейно-політичної спрямованості; 2) проблем­ності; 3) наочності; 4) активності й свідомості; 5) доступності; 6) систематичності й послідовності; 7) міцності; 8) єдності освіти, розвитку і виховання.

28.Що таке «нові інформаційні технологи навчання». Сучасне суспільство ставить перед системою освіти нові завдання, пов'язані розробкою педагогічної стратегії в умовах комп'ютери­зації та інформатизації всіх боків життя суспільства.

Істотні зміни в інформаційному середовищі проживання лю­дини призвели до зниження ефективності традиційних підходів до навчання. Ці зміни пов'язані з упровадженням комп'ютерної техніки в різні сфери діяльності людини, що спричинює струк­турні зміни цієї діяльності. Можливості комп'ютера в навчанні перекривають традиційну сферу в основному алгоритмічної ді­яльності учня, яка була дотепер базою формування математичної культури покоління, що підростає.

Нині важливого значення набувають проблеми інтенсифікації й оптимізації навчально-виховного процесу, активізації пізнаваль­ної діяльності, розвитку творчого мислення учнів. Нові інформа­ційні технології навчання (НІТН) значною мірою сприяють роз­в'язуванню цих та інших завдань, які постають перед системою освіти.

НІТН - нова методологія і технологія навчально-виховного процесу з використанням найновіших електронних засобів на­вчання (насамперед ЕОМ). НІТН - системний метод навчання на базі ЕОМ, а у вузькотехнічному розумінні - це використання у навчанні різноманітних, включаючи електронні, передусім ком­п'ютерних засобів навчання. Комп'ютер може виконувати різно­манітні функції: контролюючих машин, навчальних тренажерів, моделювальних стендів, інформаційно-довідкових систем, ігро­вих навчальних середовищ, електронних конструкторів, експерт­них систем.

Основою програмного забезпечення технологій комп'ютер­ного навчання (ТКН) є навчаючі програми: від найпростіших контролюючих програм до складних навчаючих систем з елемен­тами штучного інтелекту. ТКН можуть мати різний ступінь розвинутості компонентів своїх структур: моделей дисциплін (чому вчити), моделей управління (як вчити), моделей тих, хто навчаєть­ся (кого вчити).

ТКН підтримують продуктивну діяльність учнів, сприяють ін­дивідуалізації і диференціації процесу навчання, реалізації діяльнісного підходу, раціоналізують працю вчителя.

Запровадження НІТН не повинно бути самоціллю. Воно має бути педагогічно виправданим, розглядатись передусім з погляду педагогічних переваг, які воно може забезпечити порівняно

з традиційною методикою навчання.

Можливості НІТН у викладанні шкільної математики.Використання НІТН під час вивчення шкільної математики дає змогу поєднати високі обчислювальні можливості у процесі дослідження різноманітних функціональних залеж­ностей, звільнивши учнів від рутинних обчислень, з перевагами графічного подання інформації, розвитку геометричної інтуїції, графічних навичок, евристичної діяльності, врахування індивіду­альних здібностей і можливостей учнів. Комп'ютери створюють нову технічну основу для здійснення в розумних межах програ­мованого навчання, організації індивідуальних і групових форм навчальної діяльності на уроці, своєчасного контролю успішності учнів і надання педагогічної підтримки, створення умов для ви­переджувального навчання тих, хто має здібності й інтерес до математики.

В Україні і за її межами вже створено чимало навчальних про­грам. Зокрема, програма GRAN1, призначена для комп'ютерної підтримки курсів ал­гебри, математичного аналізу, теорії ймовірностей і математичної статистики, фізики, використання у наукових дослідженнях. Ос­новне призначення програми - графічний аналіз функцій. Вона дає змогу користувачеві вводити і редагувати до п'яти функцій, вилучати функції, що вже не потрібні.

В.В. Дровозюк розробила методику вивчення елементів теорії границь числових послідовностей в курсі математики в класі з поглибленим вивченням її з використанням НІТН А.В. Пеньков створив пакет програмних педагогічних засобів для комп'ютерної підтримки шкільного курсу математики, який дає можливість конструювати системи завдань для індивідуальної роботи з урахуванням рівня розвитку і типу мислення учня.

Л. С. Нуракова розробила систему навчальних модулів ком­п'ютерної підтримки навчання математики в школі двох типів: 1) програмні засоби, які підтримують репродуктивні види діяль­ності учнів; 2) інструментальні програмні засоби продуктивної діяльності учнів.

Можливі найрізноманітніші застосування ЕОМ у вивченні ма­тематики. Під час розв'язування обчислювальних задач, побудові діаграм, графіків залежностей між величинами у 5-6 класах до­цільно використовувати мікрокалькулятори, але для моделюван­ня текстових задач на рух, побудови діаграм ефективніше скори­статися персональними комп'ютерами, оскільки на екрані ком­п'ютера учні можуть спостерігати залежність між швидкостями, часом і шляхом у задачах на зустрічний рух та коли об'єкти пе­реміщуються в одному напрямі.

Широкі можливості персонального комп'ютера як тренажера і контролюючого засобу для формування навичок і умінь виконання тотожних перетворень різних виразів, розв'язування рівнянь і не­рівностей протягом вивчення всього шкільного курсу математики.

Існують широкі можливості для використання НІТН у разі ви­вчення геометричного матеріалу. Коли вводяться геометричні перетворення, учні мають можливість на екрані комп'ютера по­бачити різні види рухів, гомотетії у процесі перетворення конк­ретних фігур. Алгоритми базових побудов засвоюються учнями краще, якщо до виконання самим учнем певної побудови на ек­рані комп'ютера в колірному виконанні з'являються всі кроки побудови. Те саме має місце і для виконання зображень просто­рових фігур на площині, розв'язування задач на побудову перері­зів многогранників. Персональні комп'ютери можуть допомогти учням математизувати ситуації в геометричних задачах практич­ного змісту, в лабораторних роботах на вимірювання і обчислен­ня геометричних величин.

Можливості НІТН ще тільки починають вивчатися і впрова­джуватись. Отже, є велике поле для творчої ініціативи вчителя і учнів. Комп'ютери широко використовуються в дистанційній освіті.

Заслуговує на увагу комплексне використання традиційних засобів навчання, зокрема засобів наочності (таблиці, моделі то­що), і НІТН.

30. Основна мета загально­освітньої школи - всебічний розвиток особистості, у процесі нав­чання математики треба спиратися і на дидактичні, і на психо­логічні принципи розвивального навчання.

Дидактичні принципи розвивального навчання висунув у 60-70-х рр. Л.В. Занков. Він вважав, що не будь-яке навчання ство­рює максимально сприятливі умови для розвитку учнів. Потріб­ний ретельний добір змісту, методів, організаційних форм і за­собів навчання, щоб забезпечити ці умови. При цьому треба вра­ховувати такі важливі дидактичні принципи розвивального на­вчання.

Провідна роль теоретичних знань. У процесі навчання мате­матики це означає, що не можна починати формувати уміння і навички застосування математичних знань доти, поки учні не засвоїли основні поняття, твердження, правила, закони, методи.

Навчання швидкими темпами. У досвіді вчителів-новаторів реалізація цього принципу зводиться до вивчення основного теоретичного матеріалу швид­кими темпами на початку ознайомлення з темою, здійснення дійового контролю його засвоєння і звільнення цим самим часу для розв'язування задач. У процесі розв'язування задач теоретич­ний матеріал повторюється, поглиблюється, закріплюється.

Навчання на високому, але доступному рівні складності. Так само, як спортсмени розвивають свої фізичні можливості на вправах високої складності, учні повинні розвивати мислення, інтелект на навчальних задачах високого рівня складності. Разом з тим об'єктивним фактом є те, що різні учні мають різні зони актуального і найближчого розвитку. Саме тому в умо­вах класно-урочної системи треба здійснювати рівневу дифе­ренціацію, використовувати групові й індивідуальні форми робо­ти, виділяючи типологічні групи учнів, які мають приблизно од­наковий рівень загального розвитку, навченості, темпу просуван­ня у навчанні, цікавості до математики.

Усвідомлення всіма учнями процесу навчання. Забезпечення цього принципу вимагає від учителя копіткої роботи з тими, хто не встигає, з'ясування причин цього та організації своєчасної пе­дагогічної підтримки таких учнів.

Систематична робота вчителя над загальним розвитком усіх учнів, у тому числі й найслабкіших. У процесі навчання матема­тики передусім передбачається розвиток мислення, оволодіння учнями загальними розумовими діями і прийомами розумової діяльності. Практика і дослідження психологів свідчать про те, що основною причиною того, що учні не встигають з математи­ки, є насамперед несформованість дій аналізу, синтезу, порів­няння, абстрагування, узагальнення.

Психологічні принципи розвивального: 1.систематичний розвиток всіх трьох основних видів мис­лення: наочно-дійове (або практичне), наочно-образне і абстракт­но-теоретичне;2.Проблемність навчання. Учень лише тоді включається в пі­знавальний процес, виявляє розумову активність, коли стикається з проблемами (питаннями і задачами), які йому треба розв'язати; 3.Індивідуалізація і диференціація навчально-виховного про­цесу; 4.Цілеспрямоване формування алгоритмічних і евристичних прийомів розумової діяльності; 5.Систематичний розвиток мнемічної діяльності (тобто роз­виток пам'яті) для забезпечення фонду дійових знань. Психологи зазначають, що добре розвинена пам'ять - умова роз­виненого інтелекту. У процесі навчання математики слід домага­тися запам'ятовування учнями основних означень, тверджень, алгоритмів розв'язання ключових задач, озброювати учнів спе­ціальними мнемічними прийомами, які полегшують запам'ято­вування навчального матеріалу.

31.Методика навчання учнів розв'язуванню задач.Ефективною методика навчання учнів може бути лише за комплексного підходу до навчального процесу. Це означає, що має чітко визначатися мета навчання учнів розв'я­зування задач певного виду чи оволодіння певним методом, рете­льно розроблятися система самих задач, які будуть розв'язуватись у класі і пропонуватися як домашнє завдання, мають доцільно ви­биратися методи і організаційні форми роботи на уроці, засоби навчання, здійснюватися контроль стану сприймання учнями ме­тодів і способів розв'язування, набутих ними навичок і умінь.

У процесі розв'язування задач здійснюється як алгоритмічна, так і евристична діяльність. Переважна більшість шкільних задач, зокрема алгебраїчних вправ, базових задач на побудову, вправ на дослідження функцій, обчислення похідних і інтегралів тощо, виконуються за певними алгоритмами. Оволодіння учнями цими алгоритмами - важливе завдання навчання математики.

Разом з тим навчати учнів розв'язування задач і вправ алгори­тмічного характеру не можна шляхом лише пропонування їм го­тових алгоритмів. Доцільніше організувати на зразках розв'язан­ня однієї-двох задач колективний пошук алгоритму.

У задачах на рух, де об'єкти рухаються від одного пункту і в одному напрямку, а вимагається визначити відстань між об'єк­тами через певний час, раціональнішим є спосіб розв'язування, за якого знаходять різницю між швидкостями об'єктів і множать її на заданий час.

При розв'язуванні задач на спільну роботу орієнтиром для розв'язання є вказівка щодо прийняття всієї роботи за одиницю і вираження частини всієї роботи, яка виконується окремими осо­бами чи механізмами за одиницю часу, чи частини роботи, яка виконується ними разом.

Аналогічні вказівки або правила-орієнтири доцільно пропону­вати учням для засвоєння в разі розв'язування задач на проценти, пропорційний поділ, геометричних задач на побудову, які роз­в'язуються методами геометричних місць, геометричних пере­творень, задач на доведення методом від супротивного, побудову перерізів многогранників, побудову графіків функцій шляхом геометричних перетворень, розв'язування задач векторним мето­дом та ін.

Особливої уваги варте навчання учнів провідних методів розв'язування задач. Для прикладу розглянемо методику на­вчання методу рівнянь під час розв'язування текстових (сюжет­них) задач.

Шкільна практика свідчить про те, що, хоч метод рівнянь вво­диться вже в 5 класі і використовується протягом всього наступ­ного вивчення шкільного курсу математики, результати вступних екзаменів до вузів незаперечно доводять, що значна частина ви­пускників недостатньо володіє цим методом.

Однією з причин цього ми вважаємо брак на увагу вчителів до розв'язування в 5-6 класах текстових задач арифметичним спо­собом і підготовчих задач і вправ, які безпосередньо готують уч­нів до усвідомлення методу рівнянь. Крім того, потрібна спеці­альна увага щодо засвоєння учнями евристичної схеми пошуку рівняння як моделі зв'язків між даними і шуканими.

До складу уміння розв'язувати задачі методом рівнянь як компоненти відповідної діяльності входять такі розумові дії: ана­ліз задачі (виділення умов і вимог); встановлення суттєвих зв'яз­ків між відомими і шуканими; виділення величин, значення яких прирівнюватимуться, позначення невідомої і подання потрібних величин через введену невідому, складання рівняння і його роз­в'язання; перевірка розв'язання задачі. Уміння можна сформулю­вати, якщо попередньо відпрацьовано згадані компоненти.

Успішно аналізувати формулювання задачі учні можуть лише тоді, коли вони засвоїли її зміст. Для цього важливо вдало подати задачу учням. Це можна зробити по-різному. Якщо задача з під­ручника, то ефективніше, коли задачу вголос читає вчитель або один з учнів, а решта стежать, як формулюється задача за підруч­ником. Досвід свідчить, що найкраще, коли задача читається не менш як два рази. Доцільно, щоб учень, який розв'язуватиме за­дачу на дошці, після повторення змісту задачі й виділення умови і вимоги скорочено записав їх на дошці. Перші скорочені записи на дошці вчителеві доцільно робити самому, пропонуючи зразок, що його наслідуватимуть учні. Для окремих задач умову і вимогу варто подати у вигляді таблиці або графічної ілюстрації.

Геометричне зображення змісту задачі наочно ілюструє зв'я­зок між даними і шуканими, допомагає доцільно вибрати невідому х і скласти просте для розв'язування рівняння 3х=54. У процесі пошуку рівняння треба з'ясувати, про які ве­личини йдеться в змісті задачі, які зв'язки існують між цими ве­личинами і шуканим, значення яких величин можна прирівняти. Залежно від цього доцільно ввести невідому і скласти рівняння.

У методиці викладання 1 алгебри відомі дві евристичні І схеми пошуку рівняння до і задачі. Перша застосовується до розв'язування нескладних і задач і має такий вигляд: 1) позначити через х шукану

величину (або одну з шуканих); 2) виразити через х інші величи­ни, про які йдеться в змісті задачі; 3) спираючись на залежність . між відомими і невідомими величинами, скласти рівняння.

Друга евристична схема зручна для розв'язування складних і задач: 1) з'ясувати, виходячи зі змісту задачі, значення яких величин можна прирівняти; 2) вибрати невідому і позначити її бук­вою х; 3) виразити через х значення величин, які прирівнюватимуться; 4) скласти рівняння.

Друга евристична схема забезпечує цілеспрямований вибір невідомої і вираження через неї потрібних величин.

На першому, підготовчому етапі навчання учнів методу рів­нянь потрібно нагадати всі види основних задач, які розв'язу­ються кожною арифметичною дією, їх буквений запис, сформу­вати навички складання простих виразів з невідомою. Далі роз­в'язуються усно найпростіші задачі на складання рівнянь за умо­вою задачі.

Важливо домогтися усвідомлення учнями того, що словоспо­лучення «на стільки-то більше» вимагає іноді дії додавання, а інколи - віднімання залежно від того, якої з двох величин воно стосується. Аналогічно із словосполученням «а в стільки-то разів більше за b». Досвід показує, що деякі учні не реагують на слова «сума», «додано», «всього» в умові задач. Тому на першому етапі треба спеціально виділяти слова, які містять інформацію для складання рівняння.

Існують різноманітні організаційні форми щодо розв'язування задач. На уроці можливі колективне фронтальне розв'язування задач, колективна робота окремих груп і самостійне розв'язу­вання.

Готуючись до колективної фронтальної роботи, яка прово­диться інколи методом евристичної бесіди, треба продумати і записати в конспекти (якщо йдеться про практиканта або вчите-ля-початківця) систему запитань, що стосуються пошуку роз­в'язання. Серед них варто на прості запитання пропонувати від­повідати слабкішим учням, щоб і їх залучити до процесу пошуку способу розв'язання задачі. Іноді спосіб розв'язання знаходять сильні учні, а реалізацію його на дошці доцільно запропонувати середньому чи слабкому учневі. Не можна допускати, щоб учні механічно переписували розв'язання задачі з дошки, не усвідо­мивши способу. Тому в процесі оформлення розв'язання можна пропонувати окремим учням пояснити, чому виконується та чи інша дія або яким має бути наступний крок розв'язання?

За групової форми організації розв'язування задач на уроці вчитель повинен підготувати для кожної групи набір задач відпо­відно до здібностей учнів групи і під час уроку контролювати ді­яльність кожної групи і надавати допомогу тій, яка більше її по­требує. Інколи варто спеціально провести консультацію (3-5 хв), в якій активну участь братимуть сильніші учні, а не лише вчитель.

Можливі різні форми організації самостійного розв'язування учнями задач на уроці. Це - самостійні роботи здебільшого на­вчального характеру, але інколи потрібні і контролюючого. Са­мостійні роботи можуть тривати цілий урок, але частіше - части­ну уроку. Залежно від мети такі роботи можуть проводитись на початку, в середині і наприкінці уроку. Якщо вчитель хоче пере­вірити стан виконання домашнього завдання і надати допомогу тим, хто не встигає, він може запропонувати задачу або вправи, аналогічні домашнім. Коли опановується певний тип задач, само­стійну роботу можна запропонувати в середині і наприкінці уро­ку. Для ефективної і оперативної перевірки таких робіт можна запропонувати двом-трьом учням оформити розв'язання на плів­ці і спроектувати його на екран через графопроектор. Інколи два учні розв'язують задачу на відкидних дошках, і відразу по закін­ченні допущені помилки виправляються. Можлива й усна фрон­тальна перевірка за етапами розв'язання задач і вправ.

Досвідчені вчителі, зокрема В. Ф. Шаталов, з метою інтенсифі­кації процесу навчання учнів, збільшення кількості розв'язаних на уроці задач до початку уроку записує скорочено умови 4-5 задач на дошці. Починається розв'язування останньої справа задачі. Вчи­тель сам за скороченим записом умови читає зміст задачі і органі­зовує колективний пошук розв'язування. Один з учнів оформляє розв'язання на дошці, а решта - в зошитах або уважно слухають розв'язання і стежать за його оформленням. Потім розв'язання на дошці витирають, а учням пропонується самостійно оформити розв'язання в зошиті. Далі розв'язується наступна задача, а дошка поступово звільняється, що позитивно впливає на настрій учнів.

В. Ф. Шаталов практикує проведення «релейних» контроль­них робіт, мета яких - перевірка стану засвоєння способів роз­в'язування базових задач. Після того як розв'язано великий масив задач в робочих (загальних) зошитах, складається каталог їхніх номерів за підручником. Біля кожного номера задачі в клітинці ставиться номер сторінки в зошиті, де є розв'язання цієї задачі. На контрольну роботу виноситься 5-6 задач (чи більша кількість вправ). Учні готуються до цієї роботи протягом 2 тижнів, повто­рюючи за зошитом розв'язання тих задач, які вони не можуть відтворити самостійно.

Особливістю методичної системи В. Ф. Шаталова щодо задач є те, що вчитель на початку чверті або півріччя пропонує учням великий масив задач з підручника, номери яких оформлено на спеці­альних плашках у вигляді різних фігур (будинків, метеликів тощо). Вчитель створює умови для випереджаючого розв'язування задач у зручний для учнів час, ретельно перевіряє зошити з виконаними розв'язаннями. Таким чином, вчитель систематично контролює не тільки засвоєння теоретичного матеріалу, а й способи діяльності щодо його використання при розв'язуванні задач.

32.Поряд з усним викладом теоретичних знань, поясненням учи­телем способів розв'язування різних типів задач та колективним їх розв'язуванням значне місце в процесі навчання математики посідає самостійна робота учнів. До самостійної роботи можна віднести самостійне вивчення учнями навчального матеріалу на уроці або під час виконання домашнього завдання за підручника­ми, навчальними посібниками та науково-популярною літерату­рою, самостійне доведення теорем та розв'язування задач, робо­ту в зошитах з друкованою основою, програмоване навчання за допомогою програмованих посібників та персональних ком­п'ютерів.

Самостійна робота учнів за підручником, навчальними посіб­никами, науково-популярною літературою - важливий для само­освіти прийом навчальної роботи, якому необхідно спеціально і цілеспрямовано навчати учнів як в основній, так і в старшій школі.

Нові знання з математики сприймаються і засвоюються учня­ми з певними труднощами. Тому потрібні поради вчителя щодо роботи над математичним текстом. Вони можуть мати вигляд такого правила-орієнтира. 1.Прочитай уважно текст один чи два рази, виділи головне в ньому (нові поняття, твердження, правила тощо).2. Склади план прочитаного. 3. Виділи поняття, про які йдеться в тексті. 4. Виділи твердження, які доводяться в тексті. З'ясуй, що в них дано, що треба довести. З'ясуй, з яких тверджень складається доведення, за допомогою яких відомих тверджень вони обґрунтовується. 5.Спробуй відповісти на контрольні запитання. Сформулюй означення нових понять і твердження, які доводились в тексті. 6.Не вдаючись до тексту, виконай потрібні рисунки і відтвори прочитане за планом.

У 5-6 класах треба на прикладі конкретного тексту показати, як виділити головне в тексті і скласти план. Лише після цього можна пропонувати учням виконати таку роботу самостійно.

Програмоване навчання. Програмоване навчання виникло з потреб вдосконалення традиційного навчання і створення кращих умов для реалізації дидактич­них принципів навчання.

Термін «програмоване навчання» походить від термінології програмування для ЕОМ і здійснюється за навчальними програ­мами. У них матеріал, що вивчається, подається послідовними порціями, після засвоєння кожної з яких учням пропонується ко­нтрольне запитання або завдання. Перехід до наступної порції допускається лише після ознайомлення з правильною відповіддю і характером помилки, якої учень припустився.

Існує дві системи програмування навчального матеріалу - лі­нійні та розгалужені програми. За лінійною програмою навчаль­ний матеріал подається невеликими порціями, які включають питання, що стосуються контролю вивченого в цій порції матері­алу. Після відповіді на запитання учень звіряє її з правильною відповіддю і переходить до вивчення наступної порції. У розга­луженій програмі порції навчального матеріалу більші за обся­гом. У кінці кожної порції учень відповідає на запитання, виби­раючи правильну відповідь серед кількох запропонованих. Про­поновані відповіді складаються з урахуванням можливих поми­лок, що їх припускаються учні. Якщо учень вибрав правильну від­повідь, то його відсилають до сторінки, де викладено нову порцію навчального матеріалу. У разі вибору неправильної відповіді учне­ві пропонують вдатися до сторінки, де пояснюється характер по­милки, ще раз опрацювати попередню порцію і вибрати правильну відповідь.

На сучасному етапі розвитку шкільної математичної освіти цікавість до програмованого навчання знову зростає у зв'язку з можливістю використання персональних комп'ютерів, які дають змогу в навчальних програмах враховувати індивідуальні особ­ливості учнів, здійснювати навчання в режимі діалогу, ширше використовувати під час пояснення наочність у динаміці.

Домашні завдання.Домашні завдання - це один з видів самостійної роботи, який звичайно може включати як закріплення вивченого на уроці, так і самостійне вивчення нового навчального матеріалу за підручни­ком, розв'язування вправ та задач за зразком і таких, що мають певну новизну і вимагають від учнів творчого підходу до засто­сування знань. Домашнє завдання дає змогу зосереджувати про­цес усвідомлення і запам'ятовування головного в навчальному матеріалі. Плануючи вивчення навчального матеріалу на уроці, вчитель має передбачати зміст і обсяг домашнього завдання. На виконання його учень повинен витрачати не більш як 50 % часу, котрий відводиться на цей матеріал на уроці (якщо тільки добре засвоїв його).

Потрібна диференціація домашнього завдання за рівнем здіб­ностей учнів. Якщо вчитель упевнений у тому, що сильніші учні виконають вправи на рівні обов'язкових результатів навчання, він може звільнити їх від простих вправ і задач і запропонувати їм кілька складніших. Навпаки, учням, які слабко встигають, можна обмежитися вправами обов'язкових результатів, якщо во­ни не мають бажання або ще не готові до розв'язування складні­ших вправ.

Під час повторення навчального матеріалу корисно іноді за­пропонувати учням навести свої приклади замість тих, що наво­дяться в підручнику.

Домашнє завдання найчастіше пропонується на останніх хви­линах уроку, а іноді відразу після вивчення нового матеріалу і навіть на початку уроку. Якщо для розв'язування задач і при­кладів недостатньо зразків, пропонованих на уроці, вчитель по­винен, задаючи домашні завдання, зробити необхідні вказівки, які допоможуть учням впоратись із розв'язуванням вправ і задач.

Найзручніше зміст домашнього завдання записати на дошці, зазначивши пункт підручника і номери вправ. Варто простежити, чи записали учні домашнє завдання в щоденник.

У методичній системі донецького вчителя В.Ф. Шаталова до­машня робота учнів має нетрадиційну форму. На початку чверті учневі пропонується велика кількість вправ і задач, номери яких учні записують в клітинки спеціально виготовленої плашки. Уч­ням не регламентується кількість задач домашнього завдання до кожного уроку. Вони розв'язують задачі тоді, коли їм зручно, можуть випереджати своїх однокласників щодо кількості роз­в'язаних задач. Клітинки, в яких розташовані номери вже роз­в'язаних задач, замальовуються кольоровим олівцем, що дає можливість наочно бачити темп просування в розв'язуванні за­дач. Теоретичний матеріал учні повторюють за підручником і опорними сигналами (схемами, на яких стисло і за допомогою графічних зображень подано головне в теоретичному матеріалі). Наступний урок починається з відтворення учнями записаного в спеціальному зошиті опорного сигналу.

33. У шкільному курсі математики учні ознайомлюються з такими основними методами доведень: синтетичним, аналітичним, аналітико-синтетичним (його інколи називають методом руху з двох кінців), методом доведення від супротивного, повної ін­дукції, математичної індукції, методами геометричних перетворень (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне пере­несення, гомотетія і подібність), алгебраїчним методом, окремими випадками якого є векторний і координатний. У сучасному шкіль­ному курсі застосовано також методи математичного аналізу: ме­тод границь, методи диференціального та інтегрального числення.

Експериментальні дослідження психологів і методистів, до­свід роботи передових учителів свідчать про те, що коли в учнів сформовано загальні й специфічні розумові дії, які входять до складу уміння доводити, то за належної організації вивчення вже у восьмирічній школі учні можуть засвоїти основні методи дове­день. Психологічними і дидактичними передумовами, які сприя­ють свідомому засвоєнню кожного методу, є оволодіння учнями алгоритмами або правилами-орієнтирами (евристичними схема­ми) методів, які дають орієнтовну основу діяльності, спрямованої на пошук і виконання доведення. Ефективним при цьому є такий шлях ознайомлення учнів _Зі змістом методу доведення і правилом-орієнтиром його, коли на прикладі доведення одного-двох тверджень (теорем або задач на доведення) учні під керівництвом учителя колективно з'ясовують суттєві загальні кроки в дове­денні і формулюють відповідний алгоритм чи правило-орієнтир.

Розглянемо основні методи доведень.

Аналітичний метод. До математики і методики її нав­чання історично увійшли два види аналітичних міркувань. Пер­ший з них разом із синтетичним описав Евклід у своїх «Началах», хоча вони були відомі ще раніше Платону (428-348 до н. є.) і Аристотелю (384-322 до н. є.). Другий вид ввів Папп (III ст.).

Суть аналізу Евкліда можна пояснити на прикладі доведення нерівності.

Приклад. Довести нерівність . Міркуватимемо так.1.Припустимо, що дана нерівність - правильна.2.Виведемо з неї наслідки, а саме: помножимо обидві частини на а²>0 ( за умовою). Дістанемо . 3.Перенесемо 2а² в ліву частину останньої нерівності. Дістанемо .4.Запишемо ліву частину одержаної нерівності у вигляді квадрата дво­члена: . Остання нерівність правильна за будь-якого а.

Отже, міркування тут проводились від того, що треба довести. При цьому з припущення правильності того, що треба довести (основа), виводились наслідки, які привели до очевидної пра­вильної нерівності (наслідку).

Такі аналітичні міркування і називають аналізом Евкліда. Проте цей аналіз не можна вважати доведенням, хоч ми й дістали очевидну правильну нерівність, оскільки правильність наслідку ще не гарантує правильності основи. Справді, з хибної основи правильними міркуваннями можна дійти правильного наслідку. Наприклад, -а=а, де - хибне твердження. Якщо піднести обидві частини цієї неправильної рівності до квадрата, дістанемо правильну рівність а²=а². Перехід від істинності наслідку до істинності основи можливий тільки тоді, коли основа і наслідок - правильні взаємно обернені судження.

Саме з цієї причини аналіз Евкліда не можна вважати дове­денням, і тому його називають інколи «недосконалим аналізом».

Синтетичнийметод. Часто аналіз Евкліда допомагає знайти синтетичний метод доведення. У синтетичному методі доведення міркування проводяться від умови або від уже відо­мого твердження до доводжуваного.

Недоліком синтетичного методу доведення в розглянутому прикладі є неможливість (коли не проведено аналізу Евкліда) здогадатися, що треба починати саме з нерівності . У геометричних доведеннях синтетичним методом важко здога­датися про додаткову побудову, яку часто в процесі доведення треба виконати.

Синтетичний метод разом з аналізом Евкліда особливо зручно використовувати в разі доведення нерівностей.

Аналіз Паппа, на відміну від аналізу Евкліда, відповідає всім вимогам доведення, і тому його називають «досконалим ана­лізом», або аналітичним методом доведення. Папп так характери­зує аналітичний метод доведення: в аналізі шукане вважається знайденим, і визначаємо, звідки воно одержалось би, і далі, що передувало б цьому останньому, поки не дійдемо до чого-небудь відомого - того, що могло б стати вихідним пунктом.

Логічною основою аналітичного методу, як і синтетичного, є аксіома: з правильного твердження завжди випливає правильний наслідок.

Схема міркувань буде при цьому такою: .

Відмінність аналізу Евкліда від аналітичного методу дове­дення (аналізу Паппа) полягає також у тому, що в аналізі Евкліда з припущення правильності доводжуваного виводяться необхідні умови (наслідки), а в аналітичному методі доби­раються достатні умови для виконання висновку доводжуваного твердження.

У шкільній практиці вчителі і деякі автори методичних по­сібників часто доводять твердження аналітичним методом, а після цього виконують обернений шлях міркувань, тобто дово­дять твердження синтетичним методом, хоч у ньому немає по­треби. При цьому таке доведення безпідставно називають аналітико-синтетичним методом.

Аналітико-синтетичнийметод.Цей метод поля­гає в тому, що пошук доведення починають аналітичним мето­дом, але міркування не доводять до кінця, а, спиняючись на пев­ному кроці, починають міркувати у зворотному напрямку, тобто з розгортання умови. Отже, далі доведення виконують синтетич­ним методом.

У наведеному доведенні міркування проводились послідовно: то від висновку теореми, то від умови. Рух з протилежних кінців в загальному випадку проводиться доти, доки міркування не зустрінуться на спільному твердженні або на суперечливих вис­новках. Цей метод особливо зручний тоді, коли перетворення лише умови чи лише висновку теореми (задачі) не приводить до мети.

Метод доведеннявідсупротивного. Цей метод вводиться вже в 7 класі на початку навчання курсу планіметрії. Його логічною основою є закон виключення третього: з двох су­противних тверджень одне завжди правильне, друге - неправиль­не, а третього бути не може. Завдяки цьому закону замість дове­дення певного твердження під час використання методу дове­дення від супротивного доводять, що супротивне йому твердження - неправильне, і на цій підставі роблять висновок, що правильне доводжуване твердження. При цьому стосовно супротивного твердження проводять аналіз Евкліда, з нього ви­водять наслідки.

Після розгляду конкретних двох прикладів доведень методом від супротивного учні колективно можуть сформулювати його правило-орієнтир. Досвід показує, що правило-орієнтир методу доведення від супротивного корисно оформити у вигляді таблиці і вивішувати її кожного разу під час наступного вивчення курсу, коли доводить­ся використовувати цей метод.

Варто рекомендувати учням письмово оформляти доведення методом від супротивного у вигляді трьох кроків відповідно до наведеного правила-орієнтира; усні доведення теж будувати за цією схемою. Після введення методу доцільно дати зразок такого оформлення.

Метод математичноїіндукції. Це метод, логічною основою якого є принцип математичної індукції, взятий в шкіль­ному курсі за аксіому: якщо твердження А(n), котре залежить від натурального числа n, виконується для n=1 або п=n₀і із при­пущенням, що воно виконується для натурального числа n=k, де , випливає, що воно виконується і для n=k+1 це тверд­ження виконується для будь-якого натурального числа .

Відомо, що будь-яке доведення - це дедуктивне міркування. Метод математичної індукції не є винятком, хоч історично в його назві є термін «індукція». Справді, на першому кроці в цьому методі виконується індуктивне міркування, але завдяки посилан­ню на загальне, раніше відоме твердження - принцип математич­ної індукції (аксіому) в третьому кроці, в цілому міркування, які проводяться в методі математичної індукції, дедуктивні.

Векторнийметод. Векторний метод доведення геомет­ричних тверджень полягає в тому, що їхні умови і вимоги пере­кладають на мову векторів. Одержані векторні рівності приводять до потрібного вигляду на основі властивостей операцій над век­торами, а потім перекладають одержаний результат у зворотному напрямку - на мову геометрії.

34. Навчання готовихдоведень. Під навчанням доведень ми розуміємо навчання готових доведень, пропонованих учителем або підручником, і навчання учнів са­мостійного пошуку доведень, на відміну від А. А. Столяра, який під навчанням доведень розуміє навчання розумових процесів по­шуку, відкриттів і побудов доведення, а не навчання відтворення і заучування готових доведень. Наше розуміння загаль­ної методичної проблеми навчання доведень пояснюється тим, що готові доведення посідають значне місце у процесі навчання мате­матики. За умови належної організації навчання готових доведень можна формувати в учнів компоненти самостійного пошуку і по­будови доведення. Готові доведення мають виступити як моделі, на яких учні навчаються розумових дій і прийомів розумової діяльності, що лежать в основі уміння доводити, методів доведень і їх застосування, вчаться самостійно шукати доведення за ана­логією з вивченим.

Проблему навчання доведень доцільно розчленувати на кілька навчальних задач, які розв'язуються послідовно: 1) вивчення го­тових доведень, вміння відтворювати їх; 2) самостійна побудова доведення за зразком з вивченим; 3) пошук і виклад доведення за вказаним учителем методом (способом); 4) самостійний пошук і виклад доведення учнями.

Для успішного навчання доведень потрібно, щоб учні ово­лоділи досить повною системою теоретичних знань і умінь (понят­тя та їх означення, аксіоми, теореми, уміння виконувати основні побудови тощо). Шкільна практика свідчить, що цього недостатньо для глибокого усвідомлення і сприйняття учнями готових доведень і самостійного їх відшукання. Введення елементів логіки в навчан­ня (роз'яснення учням правил виведення, логічна організація нав­чального матеріалу) теж не розв'язує проблем ефективного нав­чання доведень.

Підготовка до навчання учнів доведень починається вже в 5-6 класах, де вони ознайомлюються з першими твердженнями і роблять перші кроки у виконанні дедуктивних умовиводів. Цілеспрямоване навчання доведень починається з перших уроків систематичного курсу планіметрії, коли вводяться поняття «теорема», «доведення теореми». Вже тут учні повинні вчитися вико­нувати аналіз формулювання теореми, тобто відокремлювати умову від висновку. Досвід показує, що на перших етапах учні стикаються з труднощами, якщо теорема не сформульована в формі умовного речення, тобто в термінах «якщо ..., то ...». Щоб зменшити ці труднощі, доцільно запропонувати учням усні впра­ви на виділення умови і висновку з відомих уже тверджень, на переформулювання твердження у форму умовного речення і на­ступного виділення умови та висновку.

Щоб забезпечити свідоме засвоєння учнями готових доведень і навчити їх самостійно шукати доведення, треба заздалегідь формувати ці компоненти.

Під час вивчення готових доведень теорем учні мають усвідом­лювати істотні елементи доведення, відволікатися від неістотних і помічати суттєве спільне в доведеннях.

Для створення психологічних передумов успішного засвоєння готових доведень важливо не допускати пропусків проміжних ланцюгів доведення. Психологи обґрунтовують це тим, що мір­кування, пов'язані з поновленням пропущених ланцюжків дове­дення, відволікають учнів від основної лінії доведення. Відомі педагоги-математики середньої і вищої школи на своїх уроках і лекціях завжди прагнули роз'яснювати учням навіть дрібниці, щоб усунути будь-яку неясність, щоб зосередити увагу на головному.

Перш ніж проводити докладне доведення, треба спочатку на­звати основні його етапи і твердження, на яких ґрунтуватиметься доведення. Це дає можливість звернути увагу учнів на структуру доведення в цілому, виділити основну його ідею, назвати метод доведення.

Психологи обґрунтовують це тим, що докладне, розгорнуте доведення забезпечує утворення зв'язків між окремими ланцюж­ками доведення, а коротка схема з вказівкою на ідею і метод до­ведення забезпечує розуміння структури основних зв'язків в ці­лому, сприяє міцності засвоєння доведення.

Досвід показує, що учні краще усвідомлюють і запам'ято­вують структуру доведення, якщо записують у символічній формі короткий виклад доведення. Досвідчені вчителі вважають, що учні швидше і свідоміше сприймають доведення, якщо не відво­лікаються на складання конспекту доведення в процесі пояснення вчителя. Для цього вчитель пропонує учням спочатку уважно прослухати доведення за наперед заготовленим на дошці рисун­ком або за рисунком, який виконується під час доведення. Після цього вчитель проектує на екран короткий символічний запис умови і вимоги теореми, її доведення, пропонує учням перенести рисунок і записи в зошит, якщо в цьому є потреба. Ця думка під­тверджується дослідженнями психологів, які експериментально довели, що одночасне виконання двох видів діяльності, коли кожний з них потребує повного зосередження уваги, неможливе. Має бути часткова автоматизація хоча б одного виду діяльності, щоб обидва виконувались з достатнім успіхом.

Сказане не виключає, а навіть передбачає спеціальне навчання учнів старших класів складання конспекту шкільної лекції з ме­тою підготовки учнів до такої діяльності у вузі або під час на­ступного навчання в умовах самоосвіти.

Навчання учнів самостійногопошукудоведень.Навчання учнів уміння самостійно здійснювати пошук доведення значною мірою залежить від володіння основними компонентами, що входять до складу уміння доводити, і методами доведень.

У більшості теорем і задач на доведення процес доведення спрямований на те, щоб показати, що об'єкти, задані в умові тео­реми (задачі), вміщують необхідні і достатні або достатні ознаки понять, про які йдеться у висновку. У геометричних доведеннях такими поняттями можуть бути фігури, їхні властивості, відно­шення між фігурами. Тому учні повинні навчитися розгортати умови, тобто діставати з умови ознаки шуканого поняття, оскіль­ки в складніших теоремах ці ознаки є в умові неявно, сховані за змістом інших понять.

При цьому цілеспрямований пошук потрібних ознак має відбуватися якнайкоротшим шляхом. Це можливо лише тоді, ко­ли учень має уявлення про те, де треба шукати потрібну ознаку. Для полегшення пошуку варто давати учням набір «пошукових областей». Наприклад, якщо в умові теореми або задачі трапля­ються поняття «прямий кут», «рівні суміжні кути», «бісектриса розгорнутого кута», то кожне з цих понять вміщує умову перпен­дикулярності двох прямих. Після вивчення скалярного добутку двох векторів і означення та ознак перпендикулярності прямої і площини в 10 класі до «пошукових областей» для встановлення перпендикулярності двох прямих (відрізків) додаються ще дві ознаки: 1) дві прямі перпендикулярні, якщо скалярний добуток двох векторів, що лежать на кожній з цих двох прямих, дорівнює нулю; 2) дві прямі перпендикулярні, якщо одна з них перпенди­кулярна до площини, на якій лежить друга.

При підготовці до пошуку складніших доведень можна скори­статися правилами-орієнтирами, що вказують, як встановити найбільш поширені відношення між двома фігурами: рівність, подібність фігур, паралельність прямих або відрізків. Наприклад, щоб довести рівність трикутників, досить: 1) підвести їх під одну з ознак рівності або скористатися означенням рівних три­кутників; 2) довести, що один з трикутників можна дістати з другого при деякому русі (симетрії, повороті, паралельному перенесенні).

Щоб довести рівність відрізків або кутів, досить: 1) довести рівність трикутників або інших фігур, елементами яких є вказані у вимозі відрізки (кути), а потім зробити висновок про рівність відповідних відрізків (кутів); 2) довести, що один відрізок (кут) можна одержати з другого шляхом деякого руху.

Після вивчення скалярного добутку двох векторів на площині і в просторі учнів ознайомлюють ще з одним способом доведення рівності відрізків і кутів - векторним.

Слід звернути увагу учнів і на те, що у зв'язку з доведенням рівності фігур часто користуються властивостями вимірювання відрізків і кутів і загальними властивостями величин: а) дві фігури рівні між собою, якщо кожна з них рівна третій; б) якщо від двох рівних відрізків (або кутів) відняти рівні відрізки (або кути), то дістанемо рівні відрізки (або кути). Те саме справедливе щодо додавання.

Необхідною умовою правильного вибору потрібної ознаки поняття, під яке підводиться об'єкт, є усвідомлення всіх суттєвих властивостей і ознак. З цього погляду важливо під час вивчення основних понять та їхніх відношень привести в систему ці вла­стивості і ознаки і показати можливість їх використання.

Володіння методами доведень і вміння вибрати потрібний ме­тод - важлива умова для забезпечення самостійного виконання доведення. Щодо навчання учнів самостійного пошуку доведень, то найважливішим є аналітичний метод. Навчання учнів во­лодіння аналітичним методом найкраще проводити на зразках доведень у вигляді евристичної бесіди. Наведемо модель ор­ганізації діяльності учнів під час використання аналітичного ме­тоду на прикладі задачі на доведення.

Правило-орієнтир аналітичного методу доведення може ви­глядати так. 1.Запитати: з якого раніше відомого твердження необхідно випливає висновок доводжуваного твердження? Іншими словами, знайти доведене раніше твердження (або аксіому), якого достат­ньо, щоб зробити висновок доводжуваного твердження.2. Якщо такого раніше відомого твердження знайти не вда­ється, то треба шукати інше, поки ще не доведене твердження, з якого необхідно випливав би висновок доводжуваного.3. Потім треба шукати наступне твердження, з якого необхід­но випливало би попереднє, і так далі, поки не буде одержане твердження, яке безпосередньо випливає з умови теореми,4. Зробити висновок, що дане твердження доведене, оскільки ввесь ланцюжок достатніх умов для виконання висновку задо­вольняється в силу умови доводжуваного твердження.

Ознайомити учнів з аналітичним методом доведення і від­повідним правилом-орієнтиром найзручніше на прикладі задачі.

35. Про поняття «задача» і функції задач у навчанні математики. У літературі з психології і педагогіки немає єдиного трактування поняття «задача». Автори по-різному тлумачать це поняття - залежно від підходу до зв’язку між суб’єктом і задачею. У кібернетиці, дидактиці і методиці навчання математи­ки задача трактується як ситуація зовнішньої діяльності, яка про­понується у відриві від суб'єкта діяльності. Тому здебільшого задача тут трактується як будь-яка вимога обчислити, перетвори­ти що-небудь, побудувати або довести щось. У психології задача розглядається як мета, задана в певних умовах, як особлива ха­рактеристика діяльності суб'єкта. Задача тут тлумачиться як суб'­єктивне психологічне відображення тієї зовнішньої ситуації, у якій розгортається цілеспрямована діяльність суб'єкта.

У шкільній практиці до задач у широкому розумінні відносять не лише текстові, сюжетні задачі, а й різного характеру вправи, приклади.

Процес розв'язування задачі як розумова діяльність до­сліджується психологією і аналізується методикою математики. Останніми роками робиться спроба дослідити задачі як такі, а не лише процес їх розв'язування. Звертається увага на потребу мати чітке уявлення про структуру задачі. Відомо, що в кожній задачі є умова (умови) і вимога (вимоги).

Задачі у навчанні математики є і об'єктом вивчення, і засобом навчання. Звичайно виділяють чотири основні їхні функції - навчальна, розвивальна, виховуюча і контролююча.

Навчальна функція спрямована на формування в учнів систе­ми математичних знань, умінь і навичок на різних етапах навчан­ня. Через систему задач учні вчаться не лише застосовувати здо­буті теоретичні знання, а й переконуються на етапі мотивації у потребі здобуття нових знань; в процесі розв'язування задач дістають додаткову теоретичну інформацію і відомості про мето­ди розв'язування.

Розвивальна функція задач спрямована на розвиток мислення школярів, на формування у них розумових дій та прийомів розу­мової діяльності, просторових уявлень і уяви, алгоритмічного мислення, вміння моделювати ситуацію тощо.

Виховуюча функція задач спрямована на формування в учнів наукового світогляду, сприяє екологічному, економічному, есте­тичному вихованню, розвиває пізнавальний інтерес, позитивні риси особистості (наполегливість, волю, відповідальність за до­ручену справу та ін.).

Контролююча функція задач спрямована на встановлення навченості, рівня загального і математичного розвитку, стану засво­єння навчального матеріалу окремими учнями і класом в цілому.

Жодна із названих функцій не може виступати ізольовано від інших, але в кожній конкретній задачі вчитель має виділяти про­відну функцію і за належної цільової установки домагатися її реалізації в першу чергу. Кожна з основних функцій задач важ­лива в загальній системі навчання, але останніми роками особ­лива увага приділяється розвивальній функції. Задачі мають не тільки і не стільки сприяти закріпленню знань, тренуванню в їх застосуванні, скільки формувати дослідницький стиль розумової діяльності, метод підходу до явищ, що вивчаються.

Однією з найважливіших проблем шкільної математичної освіти є озброєння учнів методами і способами розв'язування задач, навчання самостійного пошуку розв'язання задач. Методи і способи розв'язування задач визначаються як характером самих задач, так і тими знаннями і допоміжними засобами, котрими учні володіють на даному етапі навчання.

У дослідженнях останніх років психологи, дидактики і мето­дисти переконливо показали, що уміння школярів розв'язувати задачі прямо не залежить від кількості розв'язаних задач. Якщо навіть учень розв'язав багато задач, але в нього не сформований загальний підхід до задачі, аналізу її, пошуку плану розв'язання, самостійно розв'язувати задачі він не зможе.

36. Позакласна робота з математики - це заняття, які проводяться в позаурочний час, ґрунтуються на принципі добровільної участі, мають на меті підвищення рівня математичного розвитку учнів і цікавості до предмета за рахунок поглиблення і розширення базового змісту програми. Позакласні заняття можна будувати як на матеріалі, лише посередньо пов'язаному зі шкільною програ­мою, так і на матеріалі, який безпосередньо межує з темами обо­в'язкової програми, але не дублює цю роботу, а поглиблює і де­що розширює її. Не варто вважати позакласною роботою додаткові заняття з тими учнями, що не встигають з математики, а також індивіду­альні і групові заняття з тими, хто навчається з випередженням. Робота з цими категоріями учнів безпосередньо пов'язана з ви­вченням на різному рівні вимог програмового матеріалу.

Форми і методика проведенняпозакласної роботи.До форм позакласної роботи можна віднести: 1) позакласну роботу в школі; 2) позашкільну роботу в дитячих будинках творчості, в літніх таборах тощо; 3) роботу різних рівнів заочних математичних шкіл.

Всередині кожної з цих форм існують різноманітні форми по­закласної роботи: математичний гурток, тиждень або місячник математики, математичні вечори, математичні ранки для учнів (1-6 класи), клуби веселих і кмітливих математиків, шкільні олімпіади, математична преса (класна і шкільна математичні га­зети, бюлетені, стенди тощо), математичні екскурсії, шкільні на­укові конференції, позакласне читання науково-популярної літе­ратури з математики, підготовка учнями доповідей, рефератів, творів з математики, виготовлення математичних моделей тощо. Останніми роками школах з'явилась нова форма позакласної роботи - громадський огляд знань. Він полягає в тому, щонаприкінці півріччя або року учні готуються до огляду вивченого матеріалу курсу і демон­струють свої знання і вміння на зборах громадськості - учнів школи, батьків, представників дирекції школи і громадських ор­ганізацій.

Названі форми позакласної роботи часто перетинаються, і то­му їх важко чітко розмежувати.

Найпоширенішою формою позакласної роботи є математичні гуртки, в діяльності яких можна виділити два напрямки. Пер­ший - формування і розвиток початкової цікавості до математики та розвиток математичного мислення. Другий - поглиблення і розширення знань з математики і розвиток мислення. Перший напрямок є провідним для гуртків учнів 5-7 класів, другий - для гуртків учнів 8-11 класів, хоч елементи обох напрямків наявні в кожному з них.

Залучення учнів до гурткової роботи найкраще здійснювати на уроках, запропонувавши їм цікаву задачу або фрагмент з істо­рії розвитку математики і запросивши продовжити цю роботу на засіданнях гуртка.

Робота гуртка проходить ефективніше, якщо він об'єднує від­носно стабільний склад учнів і працює за складеним заздалегідь планом. План має передбачати не тільки доповіді вчителя і роз­в'язання цікавих різноманітних задач, а й повідомлення самих гуртківців, випуск стінних газет і проведення вечорів, засідань клубу веселих і кмітливих математиків, участь в організації і про­веденні тижнів або місячників математики, олімпіад тощо.

Заняття в гуртках (особливо учнів 5-7 класів) мають бути якомога жвавішими, з елементами гри, змагань, мають захоплю­вати учнів. Окремі задачі і запитання бажано добирати так, щоб труднощі, які виникають в процесі їх розв'язування, спонукали учнів до розгляду певних питань теорії і нових способів діяльнос­ті, які дещо розширюють і поглиблюють програму.

Водночас у зміст роботи гуртків і клубів веселих і кмітливих математиків варто включати ребуси, математичні фокуси і загад­ки, турніри й естафети, інсценівки, вікторини, математичні софіз­ми, цікаві факти з історії розвитку математики і біографії видат­них математиків тощо.

Математичні вечори проводять, як правило, один раз на пів­річчя або на рік з учнями паралельних класів, наприклад пара­лельних 5-6, 8-9 чи 10-11 класів. Вечори доцільно присвячувати: 1) підведенню підсумків олімпіад, тижнів або місячників матема­тики; 2) окремим видатним математикам; 3) історії розвитку ма­тематики; 4) ролі математики в сучасному науково-технічному прогресі; 5) ролі ЕОМ у сучасному суспільстві; 6) окремим темам математики та іншим питанням на розсуд учителя.

До проведення математичного вечора треба заздалегідь ре­тельно готуватися: розробити його сценарій, зміст матеріалу запропонувати деяким учням за рекомендованою літературою, підібрати фрагменти їхніх виступів і перевірити їх, підготувати цікаво оформлене оголошення, наочний матеріал тощо. Учні мають виявляти максимум ініціативи в підготовці і проведенні вечора.

До підготовки і проведення шкільних олімпіад мають докла­дати зусилля всі вчителі математики, які працюють у школі. За­вдання, що забезпечують підготовку учнів, доцільно висвітлювати в шкільних і класних математичних газетах або спеціальних бюлетенях. Основна підготовча робота припадає на учасників математичних гуртків. У районних, обласних та всеукраїнських олімпіадах беруть участь переможці шкільних олімпіад та олімпі­ад відповідного нижчого рангу. Досвід показує, що до обласних, всеукраїнських та міжнародних олімпіад треба спеціально готу­вати учнів, об'єднавши переможців шкільних олімпіад та олімпі­ад вищого рівня. Таку роботу в межах міста або району повинні проводити досвідчені вчителі.

Розглянемо для прикладу можливий варіант проведення «Ти­жня математики». «Тижні математики» дають змогу залучити до позакласної роботи багатьох учнів усіх класів, розкрити їхні потен­ційні здібності, підвищити рівень математичної культури, розви­вати пізнавальний інтерес учнів, розширити їхній кругозір, пока­зати роль математики в науково-технічному прогресі і в розвитку інтелектуального потенціалу країни. Ця форма роботи насичена конкретними заходами, і тому успішне проведення «Тижня мате­матики» вимагає серйозної і тривалої підготовки. Досвід засвід­чує, що на підготовку його треба відвести 1,5-2 місяці. Керувати цією роботою доцільно доручити організаційному комітету, до складу якого входять вчителі та учні, а очолює його ініціативний учитель математики.

Комітет складає сценарій «Тижня», призначає відповідальних за кожну ланку роботи (випуск газет, робота членів журі, підго­товка матеріалів стенда, оформлення приміщення, добір повідом­лень, питань для КВК («Клуб веселих і кмітливих») і т. д.). При цьому треба враховувати індивідуальні інтереси і можливості вчи­телів і учнів, оскільки підготовча робота має бути масовою і твор­чою. Вчителі при цьому повинні бути постійно в центрі подій, надавати допомогу, генерувати «ідеї», проводити репетиції, тренування тощо. Велику допомогу можуть надати в цей період шкільна преса, шкільна бібліотека, запропонувавши спеціальні науково-популярні видання з математики, статті в журналах.

За 10 днів до початку «Тижня» доцільно оформити спеціаль­ний випуск шкільної математичної газети з інформацією про тер­мін проведення і зміст заходів на весь тиждень. Варто кожному дню «Тижня» присвятити невеликий опис, ілюстрований відпові­дними малюнками і епіграфом.

На черговому засіданні методичного об'єднання вчителів ма­тематики треба підбити підсумки «Тижня», назвати досягнення і недоліки, накреслити плани на майбутнє. Варто оформити мате­ріали «Тижня» у вигляді альбому, який відображає педагогічний досвід позакласної роботи з математики в школі.