10.Геометричні побудови

Місце геометричних побудову програмі і чинних підручниках. Геометричні побудови - традиційно одна з провідних змістових ліній шкільного курсу геометрії. Це викликано тим, що виконувати їх доводиться учням при вивченні всього курсу геометрії і в майбутній практичній діяльності працівникам різних галузей.

Найпростіші геометричні побудови учні виконують уже в по­чатковій школі та в 5-6 класах: проводять прямі, кола, відрізки, рівні даним, будують кути заданої градусної міри, використову­ючи транспортир, проводять паралельні і перпендикулярні прямі лінійкою і косинцем, зображують кути, трикутники, квадрати, прямокутний паралелепіпед, циліндр, конус, призму, піраміду.

У систематичному курсі геометрії спеціально виділяються задачі на побудову, які розв'язуються лише за допомогою циркуля і лінійки. З вузівського курсу геометрії відомо, що такі задачі розв'язують за чотири етапи: 1) аналіз задачі, мета якого - встановити зв'язки між шуканими і даними задачі, знайти план вико­нання побудови; 2) побудова за знайденим планом; 3) доведення, мета якого - довести, що побудована фігура задовольняє умову задачі; 4) дослідження, мета якого - з'ясувати, за яких даних за­дача має розв'язки, скільки їх, чи є окремі випадки, що потребу­ють спеціального розгляду.

У шкільному курсі геометрії недоцільно вимагати від учнів при розв'язуванні задач на побудову виконувати завжди всі чоти­ри етапи розв'язання з двох причин. По-перше, дослідження мо­же виявитися складнішим, ніж побудова, доведення, і недоступ­ним для більшості учнів, особливо якщо серед даних є кути. По-друге, в найпростіших задачах на побудову учні можуть знайти план побудови без будь-якого аналізу і вимога його проведення лише знеохотить їх розв'язувати задачу. Недоцільно вимагати від учнів при розв'язуванні кожної задачі виконувати побудову шу­каної фігури, якщо основні побудови вже добре відпрацьовані, а до них зводиться розв'язання будь-якої задачі. Треба врахову­вати, що місце і вага задач на побудову в сучасному курсі геомет­рії дещо змінилися порівняно з традиційним курсом у зв'язку зі зменшенням кількості годин, які відводяться нині на вивчення геометрії в школі.

Основна мета вивчення геометричних побудов у школі - на­вчити учнів виконувати основні побудови циркулем і лінійкою та розв'язувати нескладні комбіновані задачі, які зводяться до вико­нання основних побудов.

Учні повинні знати алгоритми виконання основних побудов, вміти виконувати їх, знаходити план побудови і доведення в не­складних комбінованих задачах.

Основні побудови. Задачіна побудову. До основних побудов віднесено п'ять побудов:

1) трикутника за даними сторонами; 2) кута, що дорівнює даному; 3) бісектриси даного кута; 4) перпендикулярної прямої; 5) поділ відрізка пополам.

Перш ніж розпочати вивчення основних побудов, доцільно нагадати учням, що вони вже виконували різні побудови циркулем, лінійкою, косинцем, транспор­тиром, зокрема, будували трикутники за даними елементами.

Насамперед необхідно з'ясувати і пам'ятати, які геометричні побудови можна виконувати за допомогою кожного з цих двох інструментів.

При вивченні основних побудов доцільно скористатися алго­ритмічним підходом, а саме домогтися від кожного учня засвоєння алгоритму основної побудови. Щоб побудува­ти бісектрису кута, треба: 1) описати з вершини кута як із центра коло довільного радіуса; 2) з точок перетину побудованого кола зі сторонами кута описати два кола тим самим радіусом і позна­чити точку їх перетину, відмінну від вершини кута; 3) через вер­шину кута і точку перетину кіл провести промінь, який і є бісект­рисою кута.

Учні повинні не тільки знати алгоритм кожної основної побу­дови, а й уміти застосовувати його при розв'язуванні задач на побудову.

Складніші задачі на побудову. Навчання учнів розв'язування складніших задач на побудову має бути спрямоване перед­усім на оволодіння методами розв'язування таких задач, на розвиток продуктивного мислення учнів. У шкіль­ному курсі основними методами розв'язування задач на побудову є: метод геометричних місць, методи геометричних перетворень (симетрії, повороту, паралельного перенесення, гомотетії), алгеб­раїчний метод.

У 7 класі в умовах роботи за підручником передбачене ознайомлення учнів з поняттям «геометричне місце точок» і відповідним методом розв'язування задач на побудову. Введення означення геометричного місця точок (фігура, яка складається з усіх точок площини, що мають певну власти­вість) потребує пояснення ролі в цьому означенні слова «всіх». Воно означає, що: 1) всі точки такої фігури мають згадану влас­тивість; 2) якщо певна точка площини має згадану властивість, то ця точка належить даній фігурі.

Щоб розв'язати задачу методом геометричних місць, треба: 1) з'ясувати, до знаходження якої точки (точок) зводиться роз­в'язання задачі і які дві вимоги ця точка має задовольняти; 2) від­кинути одну з вимог задачі і побудувати геометричне місце то­чок, що задовольняють другу вимогу; 3) відкинути другу вимогу і побудувати геометричне місце точок, що задовольняють першу вимогу; 4) позначити шукану точку як перетин побудованих гео­метричних місць.

Під час розв'язування задач на побудову в наступних класах треба звернути увагу учнів на інші можливі методи. Зокрема, при вивченні геометричних перетворень варто дати учням правило-орієнтир використання окремих видів перетворень до розв'я­зування задач на побудову.

Для методу осьової симетрії це правило може бути таким.

1. Припустити, що задача розв'язана. Обрати певну симетрію стосовно або даної прямої, або прямої, яку легко побудувати. За­мінити один з даних елементів симетричним щодо обраної осі симетрії.

2. Розв'язати задачу стосовно побудованого симетричного елемента і решти даних. Цим самим задача зведеться або до ві­домої, або до простішої задачі.

3. Від допоміжної задачі пе­рейти до заданої шляхом оберне­ного перетворення симетрії.

Правила-орієнтири методів паралельного перенесення і пово­роту схожі.

1. Припустити, що задачу розв'язано. Один з даних елементівперенести паралельно собі в певному напрямку на задану від­стань (або повернути навколо даної точки на певний кут). Результатом такого перетворення буде допоміжна фігура, яку можнапобудувати за даними задачі.

2. Побудувати допоміжну фігуру й оберненим паралельнимперенесенням (поворотом) виконати побудову шуканої фігури.

Застосування цього правила-оріентира варто проілюструвати розв'язанням таких задач.

Трудність для учнів полягає в тому, щоб розділити умову задачі на дві частини. Одна з них використовується для побудови допоміжної фігури, подібної шуканій, а друга, що ви­значає розміри фігури, дає можливість шляхом перетворення по­дібності допоміжної фігури побудувати шукану. Умови, що ви­значають розміри фігури, можуть бути двох видів. Це - або дов­жина якого-небудь даного елемента фігури, або розміщення фігури стосовно інших даних фігур. Доцільно розглянути задачі, які передбачають умови кожного з цих двох видів. Правило-орієнтир методу подібності можна сформулювати так.

1. Виділити в умові задачі дві частини і, відкинувши ту, що визначає розміри фігури, побудувати фігуру, подібну шуканій.

2. Ввести відкинуту умову і, застосовуючи перетворення по­дібності допоміжної фігури, побудувати шукану фігуру.