11.Многокутники

Про особливості вивчення геометрії в шкільному курсі геометрії. Відповідно до чинної програми і паралельних підручників геометрії вивчення многокутників відбувається за кілька етапів. У по­чатковій школі і 5-6 класах на наочно-інтуїтивному рівні учні ознайомлюються з прямокутником, квад­ратом, трикутником, довільним многокутником, підраховують кількість сторін і вершин у них, розв'язують вправи на знаходження периметра, площі прямокутника. Отже, на цьому етапі навчання многокутники в основному виступають як дидактичний засіб вивчення арифметичного матеріалу, метричної системи мір.

У 7-9 класах ті самі многокутники вже є об'єктами вивчення. Насамперед ґрунтовно вивчається на початку курсу в 7 класі три­кутник як одна з основних фігур курсу планіметрії, властивості якого часто використовуються при вивченні многокутників та інших плоских фігур. Спочатку вивчаються ознаки рівності три­кутників, які разом з ознаками паралельності є основним аргуме­нтом під час доведення теорем і розв'язування задач. Далі ви­вчення трикутників триває протягом усього курсу планіметрії (у 8 класі - теорема Піфагора і розв'язування прямокутних три­кутників, в 9 класі-ознаки подібності трикутників, розв'я­зування косокутних трикутників, формула площі трикутника).

Чотирикутники, їх окремі види - це велика перша тема курсу планіметрії 8 класу. Під час її вивчення є багато можливостей для розвитку логічного мислення учнів, використання вивченого на­вчального матеріалу до розв'язування різноманітних задач, у то­му числі практичного змісту, оволодіння методами розв'язування задач і доведення теорем.

Тема «Многокутники», в якій передбачено в основному роз­гляд правильних многокутників, завершує в курсі планіметрії вивчення різних видів многокутників.

З чотирикутниками і многокутниками доводиться мати справу і при вивченні питань вимірювання геометричних величин в пла­німетрії (площі фігур), геометричних перетворень, векторів, декартових координат на площині.

Засвоєння властивостей різних видів многокутників має вели­ке значення і для реалізації зв'язків наступності, оскільки в курсі стереометрії вивчення многогранників і тіл обертання, питань вимірювання площ поверхонь і об'ємів спирається на відомості про многокутники.

Основна мета вивчення чотирикутників і многокутників у курсі планіметрії - забезпечити засвоєння учнями суттєвих ознак і властивостей окремих видів чотирикутників, правильних мно­гокутників і навчити застосовувати здобуті знання до розв'я­зування різних видів задач.

Методика вивчення чотирикутників. У навчально-методичній літературі поняття чотирикутника і многокутника трактуються по-різному. В одних курсах вони означаються як фігури, що складаються з відрізків, будь-які два з яких мають спільний кінець і не лежать на одній прямій. Далі при вивченні площ плоских фігур вводиться поняття плоского многокутни­ка як частини площини, обмеженої чотирикутником (многокут­ником).

1-5 класи.Існують різні методичні підходи до введення поняття чотири­кутника. Можна спочатку ввести означення многокутника, а чо­тирикутник розглянути як окремий вид многокутника. У спочатку вводиться означення чотирикутника як фігури, яка складається з чотирьох точок і чо­тирьох відрізків, що послідовно з'єднують їх. В цьому разі жодні три з даних точок не лежать на одній прямій. Пізніше в 9 класі при вивченні теми «Многокутники» спочатку вводяться означен­ня ламаної, замкненої ламаної, а многокутник означається як проста замкнена ламана.

Крім понять «многокутник», «чотирикутник» вводиться й інше поняття - «плоский многокутник» (а значить, і «плоский чотирикутник»), або многокутна область як частина площини, обмежена многокутником.

При введенні поняття чотирикутника доцільно використати наочний посібник - модель чотирикутника, виготовлену з дроту. На цьому етапі навчання ще не передбачено вводити поняття плос­кого й опуклого чотирикутників, тому при розв'язуванні вправ на підведення фігур під названі поняття доцільно включити фігу­ри, які належать до цього поняття.

Означення всіх видів чотирикутників вводяться однаково. Зо­крема, паралелограм і трапеція протиставляються одне одному.

Після вивчення означень і властивостей всіх видів чоти­рикутників доцільно дати уч­ням їх класифікацію у вигля­ді кругів Ейлера. В цьому разі доцільно звер­нути увагу учнів на те, що кожний прямокутник, ромб, квадрат є паралелограмом, а кожний квадрат є одночасно ромбом і пря­мокутником. Всім чотирикутникам, які належать до множини паралелограмів, притаманні властивості паралелограма, тобто родового поняття. Разом з тим певний вид паралелограмів має свої властивості, причому такі властивості притаманні не кожно­му паралелограму.

На особливу увагу заслуговує питання щодо засвоєння учня­ми ознак і властивостей різних видів чотирикутників.

Загальноприйнято в методиці математики ознаками називати твердження, за допомогою яких можна встановити, що певний об'єкт належить до певного класу об'єктів. Отже, ознака - це прикмета, за якою впізнають фігуру. Разом з тим в означенні будь-якого поняття вказано його загальні суттєві властивості. Водночас сукупність загальних суттєвих вла­стивостей понять, згаданих в означенні, також дають ознаку по­няття. Тому доцільно після введення означення кожного виду чотирикутників робити два висновки щодо його властивостей і ознаки, які випливають безпосередньо з означення.

Властивості окремих видів чотирикутників формулюються у вигляді спеціальних тверджень.

Ознаки окремих видів чотирикутників формулюються також у вигляді теорем і задач на доведення. Тому на завершення вивчен­ня кожного виду чотирикутників треба систематизувати всі його ознаки, оскільки, як і властивості, вони мають широко викори­стовуватися надалі під час розв'язування задач. Наприклад, до ознак паралелограма крім сформульованої вище на основі означення належать також твердження: 1) якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці пере­тину діляться навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм; 2) якщо у чотирикутника дві сторони паралельні і рівні, то він - паралелограм.

Варто запропонувати учням як домашнє завдання скласти таблицю для паралелограма, прямокутника, ромба і квадрата, в якій в одному стовпчику перелічити всі їх властивості,а в другому - ознаки.

Особливості системи задач. У цій темі, як і в багатьох інших, задачі можнаумовно поділити на два класи: 1) ті, які за­кріплюють введені поняття і твердження, 2) ті, в яких вони використовуються при обчисленні довжин відрізків, міри кутів, побудові фігур і доведенні різноманітних тверджень. Найчастіше використовуються властивості різних видів чотири­кутників і їхні ознаки. Досвід показує, що учням важче застосо­вувати ознаки, ніж властивості фігур. Тому доцільно сформулю­вати учням загальний орієнтир застосування вивченого теоретич­ного матеріалу до розв'язування задач:

якщо в умові задачі (теореми) дано, що чотирикутник нале­жить до певного виду (паралелограм, прямокутник, ромб, квад­рат), то можна при розв'язуванні задачі або доведенні теореми використати будь-яку властивість;

якщо в задачі (теоремі) треба довести, що певний чотирикут­ник є паралелограмом (прямокутником, ромбом або квадратом), то для доведення треба використати одну з ознак певного видучотирикутника.

Зауважимо, що деякі задачі можуть бути розв'язані різними способами. Від цього залежить їх місце в поурочному плануван­ні.

У системі задач, що стосуються теми «Чотирикутники», слід виділяти опорні, які не повинні залишитися поза увагою учнів.

При вивченні теми можна використати додаткові задачі, вміще­ні в різних збірниках задач і в методичних посібниках для вчите­лів, а також у посібнику «Геометрия в 7-9 классах».

Опуклі многокутники. Згідно з чинною програмою опуклі многокутники вивчаються в 9 класі і разом з темою «Площі фігур» завершують курс планіметрії. Основний зміст теми складають відомості про опуклі многокут­ники і суму їхніх кутів, правильні многокутники, побудову окре­мих з них і вираження радіусів вписаних і описаних кіл через сторони правильного многокутника і сторін - через радіуси. Відомості про правильні вписані і описані многокутники застосо­вуються до обчислення довжини кола і площі круга.

14, 11Внаслідок вивчення теми учні повинні знати означення: мно­гокутника, плоского, опуклого, правильного многокутників, тео­рему про суму кутів опуклого многокутника і факт, що правиль­ний опуклий многокутник є вписаним в коло і описаним навколо кола. Це дає можливість встановити залежність між стороною і радіусами відповідно вписаного й описаного многокутників.

Учні повинні знати алгоритми побудови вписаних і описаних:правильного трикутника, квадрата, правильного шестикутника.

Ці вміння стануть в пригоді при виконанні зображень правильних пірамід, призм та їх комбінацій з тілами обертання в курсі сте­реометрії.

Крім означення многокутника зразу ж вводиться означення плоского многокутника: плоским многокутником або многокутною областю називається скінченна частина площини, обмежена многокутником. Нарешті, вводиться означення опуклого много­кутника як такого, який лежить в одній півплощині з будь-якою прямою, що містить його сторону.

Одночасно вводять і допоміжні поняття: вершини, сторони, діагоналі многокутника, кут, зовнішній кут опуклого многокут­ника. Отже, введення поняття многокутника переобтяжене знач­ною кількістю понять.

Означення правильного многокутника як опуклого многокут­ника, у якого всі сторони рівні і всі кути рівні, вводиться однако­во в різних підручниках. Те саме стосується означення многокут­ника, вписаного в коло і описаного навколо нього.

Специфіка понять, пов'язаних з многокутниками, така, що їх суттєві властивості сприймаються учнями без особливих труд­нощів. Доцільно, щоб їх означення ввів учитель.

Щодо побудови правильних вписаних і описаних многокут­ників, то слід враховувати, що учні вчились на уроках праці бу­дувати квадрат, правильний трикутник і правильний шестикут­ник, вписані в коло. Томутреба пригадати ці побудови. При по­будові правильного вписаного трикутника крім способу, варто ознайомити учнів і з іншим способом, який полягає в проведенні довільного діаметра кола і перпенди­кулярної до нього хорди через середину одного з радіусів, з яких складається діаметр. Кінці хорди і кінець другого радіуса, що належить проведеному діаметру, визначать вершини правильного вписаного трикутника.

Оскільки вершини правильного вписаного шестикутника мож­на дістати шляхом побудови вершин двох правильних трикутни­ків, то, провівши перпендикулярні хорди через середини обох радіусів, наприклад горизонтального діаметра, знайдемо вершини обох правильних трикутників.

Доцільно ознайомити учнів з досить зручним способом побу­дови правильного описаного трикутника, який не зводиться до побудов дотичних у вершинах вписаного правильного трикутни­ка, оскільки побудова дотичної до кола потребує додаткових по­будов. Щоб побудувати правильний описаний навколо кола три­кутник, досить знати вершини вписаного правильного трикутни­ка і скористатися тим, що вершина Xописаного трикутника міститься на відстані висоти від сторони АВ вписаного три­кутника (варто запропонувати довести цей факт). Тому, продов­жуючи діаметр, відкладаємо на прямій СО від сторони АВ відрі­зок, що дорівнює висоті вписаного трикутника. Проводячи прямі ХА і ХВ, знаходимо дотичні до кола. Відкладаючи на них від то­чок А і В відрізки ВУ і АZ, які дорівнюють відрізкам АХ і ВХ, має­мо дві інші вершини Z і Yописаного правильного трикутника.

Розглянуті способи побудови правильного вписаного і описа­ного трикутників ефективно використовуються при виконанні їх зображень у просторі, оскільки паралельне проектування зберігає паралельність прямих і відношення відрізків, що належать одній прямій або паралельним прямим.