9.Ознаки рівності трикутників

Вступні зауваження. Озна­чення рівності геометричних фігур у шкіль­ному курсі вводиться у зв'язку з вивченням у 8 класі рухів. Озна­чення рівних трикутників і ознаки їх рівності вивчаються в 7 класі на початку курсу, оскільки вони традиційно є основним аргументом під час доведення теорем і розв'язування задач під час вивчення інших тем.

Основна мета вивчення теми «Рівність трикутників» - озна­йомити учнів з ознаками рівності трикутників і навчити застосо­вувати їх до розв'язування задач. Вміння застосовувати ознаки рівності трикутників треба довести до рівня, що забезпечує учням можливість самостійно розв'язувати задачі, які потребують за­стосування згаданого апарату. Під час вивчення цієї теми посилюються можливості розвитку логічного мислення, усвідомлення учнями ідеї дедуктивної побудови геометрії. Доведення ознак рівності трикутників вимагає від учнів обґрунтування кожного із тверджень, що складають доведення, шляхом посилання на від­повідні аксіоми, означення, уміння застосувати метод від супро­тивного. Ці доведення не прості для сприймання всіма учнями, тому було б неправомірним на рівні обов'язкових результатів навчання вимагати від всіх школярів уміння відтворювати дове­дення.

Використання відомих та формування нових понять теми.У зв'язку з вивченням ознак рівності трикутників і пов'язаного з ними навчального матеріалу використовується багато раніше ви­вчених понять і їх означень: відрізок, довжи­на відрізка, рівні відрізки, кут, кутова міра, рівні кути, трикутник, рівні трикутники, перпендикуляр, проведений до прямої, та ін. Отже, треба подбати про своєчасну актуалізацію потрібних знань, повторення необхідних означень понять. Особливо уважно слід поставитися до повторення означень рівних трикутників і відпо­відної символіки.

У цій темі вводяться шість нових понять: рівнобедрений три­кутник, рівносторонній трикутник, теорема, обернена до даної, висота трикутника, опущена з даної вершини, і бісектриса три­кутника, проведена з даної вершини, медіана трикутника, прове­дена з даної вершини. Всі зазначені поняття доцільніше ввести абстрактно-дедуктивним методом і проілюструвати конкретними прикладами.

Доведення теорем. Всі теореми, які вивчаються в цій темі, належать до основних теорем курсу геометрії, бо широко використовуються при доведенні інших теорем та розв'язуванні задач. Серед них найскладніші для сприймання учнів - доведення ознак рівності трикутників. Перш ніж приступати до вивчення першої ознаки, варто звернути увагу учнів на відміну термінів «означення» і «ознака» рівності трику­тників. Означення відповідає на запитання «Що це таке?», тобто розкриває зміст поняття. Ознака - це теорема, в якій вказано умо­ви, за яких об'єкт належатиме до поняття, про яке йдеться в озна­ченні. Доведення двох перших ознак рівності трикутників доці­льно організувати на трьох рівнях строгості, або скорочено -«в три проходи».

Перший прохід вчитель виконує сам. Його мета - ознайомити учнів зі структурою доведення в цілому. За рисунком вчитель пояснює основну ідею доведення, називає основні твердження, з яких воно складається, без потрібних обґрунтувань.

При виконанні другого проходу доведення відтворюється з усіма необхідними обґрунтуваннями. В цьому разі доцільно заздалегідь заготувати таблицю з двома входами. У лівому стовпчику записані всі твердження, з яких складається доведення, а в правому - обґрунтування кожного з них. Правий стовпчик під час другого проходу спочатку закритий і відкривається в міру відповідей учнів на запитання «Чому?».

Під час третього проходу вводиться домовленість випускати обґрунтування деяких, найбільш інтуїтивно і наочно зрозумілих тверджень для скорочення доведення. З метою закріплення дове­дення вчитель ще раз повторює його в скороченому варіанті. Фак­тично це - доведення, наведене в підручнику.

Вивчення першої ознаки треба завершити розв'язуванням за­дачі на їі застосування.

На наступному уроці учні відтворюють доведення і далі розв'язують задачі на застосування вивченої ознаки.

Другу ознаку можна довести за тією самою схемою. Оскільки в структурі доведення другої ознаки багато спільних етапів, твер­джень і обґрунтувань, можна організувати учнів на колективний пошук доведення і обґрунтування кожного з тверджень, що вхо­дять в доведення.

Доведення третьої ознаки рівності трикутників - найважче для сприймання, тому це доведення вчителеві доцільно провести само­му. Оскільки в структурі доведення використовується метод від су­противного, на попередньому уроці треба повторити алгоритм мето­ду, а при доведенні третьої ознаки рівності вивісити таблицю, на якій записано його алгоритм. Це полегшить сприймання учнями доведення третьої ознаки і дасть їм можливість брати участь у вико­нанні першого кроку і робити висновки з двох наступних.

Розв'язування задач на застосування ознак рівності трикутників. Шкільна практика свідчить про те, що серед задач на застосування ознак рівності трикутників важчими для учнів є задачі на доведення.

Відповідно до дидактичного принципу від простішого до складнішого доцільно серед згаданих задач виділити три види, які треба розв'язувати послідовно.

Задачі на доведення рівностітрикутників. Для розв'язування їх варто дати учням загальний орієнтир: щоб довести рівність двох три­кутників, треба знайти у них три пари відповідно рівних еле­ментів, серед яких має бути хоч би одна пара рівних сторін. Перед розв'язанням цих задач учням пропонується підготовча задача, яка ще раз зорієнтує учнів на потребу бути уважними щодо правильності запису рів­ності трикутників.

Задачі на доведеннярівностідеяких еле­ментів у двох данихтрикутниках.

Задачі,в якихдлядоведеннятрикутників або їх елементівнеобхіднорозглянути кілька пар рівнихтрикутників.

У зв'язку з розв'язуванням двох останніх видів задач корисно дати учням таке загальне правило-орієнтир: щоб довести рівність двох відрізків або двох кутів, досить включити їх у два різні три­кутники і довести їх рівність. Треба також учити дітей аналізува­ти умови таких задач, зокрема з'ясовувати, скільки пар рівних елементів дано і до чого зводиться розв'язання задачі або які можливості для встановлення рівності інших пар елементів мож­на використати.

Нарешті, варто проводити обговорення виконаного розв’язання для того, щоб зробити узагальнення, висновки, які можна буде використати надалі при розв'язуванні інших задач.

Такого характеру аналіз і узагальнення варто проводити і при розв'язуванні більш складних задач.

Застосування ознаки рівності трикутників необхідне і для розв'язування задач прикладного змісту, зокрема геодезичних задач; деякі з них включено в систему задач чинних підручників.