Диффузионная задача с неограниченным источником
Стадии загонки примеси соответствует модель неограниченного поверхностного источника, и на данной стадии справедливы следующие начальные и граничные условия:
(3.4)
Решение уравнения (3.2) имеет следующий вид:
,
(3.5)
где С0 – поверхностная кон-центрация примесных атомов, обеспечиваемая внешней средой с неограниченным количеством примеси.
Математическая
функция дополнительного интеграла
ошибок с аргументом
представлена в справочной литературе
в виде таблиц и графических зависимостей
см. рис. 4. В таблице 3.1 приведены значения
функции дополнительного интеграла
ошибок.
Таблица 3.1
-
z
erfc z
z
erfc z
z
erfc z
z
erfc z
0
1,0
0,7
0,3222
1,4
0.0477
2,1
0,0300
0,1
0.8875
0,8
0,2579
1,5
0,0399
2,2
0.0019
0,2
0,7773
0,9
0,2031
1,6
0,00237
2,3
0,0011
0.3
0,6714
1,0
0,1573
1,7
0,0162
2,4
0,0007
0,4
0,5716
1,1
0,1193
1,8
0,0109
2,5
0,0004
0,5
0,4795
1,2
0,0897
1,9
0,0072
2,6
0,0002
0,6
0,3961
1,3
0.0660
2,0
0,0047
2,7
0,0001
Решения, получаемые для данной задачи, имеют вид, плотности потока диффузанта, входящего в полупроводник в момент времени t :
. (2.6)
Общее количество примеси, введенной через единицу поверхности полупроводника за время t1, находится интегрированием потока (2.6):
(2.7)
3.3. Диффузия из ограниченного и полуограниченного источника
Для последующей стадии разгонки справедлива модель источника с ограниченной концентрацией примеси Q в поверхностном слое очень малой толщины. Данный режим диффузии называется также моделью диффузии из поверхностного источника с отражающей границей, для которого начальные6 и граничные условия имеют следующий вид:
(2.8)
Решение уравнения (2.2) для данной задачи выражается функцией нормального распределения Гаусса:
(3.9)
Величину Q называют также дозой легирования. На рис. 5 приведены профили распределения примеси для различных значений диффузионной длины Dt: 1 – 0,0625 мкм2; 2 – 0,25 мкм2; 3 – 1 мкм2.
Глубина залегания p-n перехода, полученная по формуле (2.9) имеет вид:
,
где
.
При получении гетероструктур твердое тело последовательно легируют разными примесями. Окончательный профиль распределения примеси может быть рассчитан по формуле (2.9), в которой в качестве параметра диффузионной длины принимают сумму:
(3.10)
В противном случае необходимо использовать комбинированное распределение С(x, t1, t2), являющееся решением уравнения (3.2) для диффузии примеси из слоя конечной толщины:
,
(2.11)
где y –переменная; C01 – поверхностная концентрация примеси на стадии загонки;
Значения интеграла в формуле (2.11) приводятся в справочной литературе в зависимости от параметров z и .
Режим диффузия из полуограниченного источника рассматривается в двух основных моделях: (а) - гомогенная среда, содержащая фазовую границу и примесный компонент с неравномерным распределением; (б) – гетерогенная среда, в одной из частей которой присутствует примесь. В случае (а) растворимость примеси в разных областях и коэффициенты диффузии примеси одинаковы, и распределение концентрации примеси имеет следующий вид:
. (3.12)
Для гетерогенной системы выполняется следующее распределение:
, (3.13)
где
представляет собой коэффициент, учитывающий соотношение растворимостей и коэффициента диффузии в разных областях диффузионной структуры.