7.8.4.2. Задача д. Тобіна

Суть задачі Д. Тобіна полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб при мінімальному ризику грошові ресурси були розподілені між ризиковими та безризиковими ЦП і щоб сподівана норма прибутку була не меншою фіксованого рівня (m_C).

Формальна постановка цієї задачі має такий вигляд:

V_П = D(R_П)  ,

x₁ + x₂ + ... + x_N+1 = 1,

.

(тут х_N+1 — частка вкладень з гарантованою нормою прибутку).

Очевидно, що задачу Д.Тобіна можна розглядати як задачу одержання бажаного прибутку, яка розглядалась у пункті 7.8.3.2. Розв’язання цієї задачі звелось до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (7.10).

З урахуванням того, що для безризикових ЦП виду А_N+1(m_N+1, _N+1) сподівана норма прибутку m_N+1 = R_F, величина ризику _N+1 = 0, значення коваріацій _1,N+1 = _2,N+1 = ... = _N,N+1 = 0 і при цьому ₁ = – ₂R_F, система (7.10) зводиться до такої системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

(7.19)

Розглянемо перших N рівнянь системи (7.19). Якщо покласти , то прийдемо до системи рівнянь (7.18) щодо знаходження структури ринкового портфеля Е(m_E; _E). Позначимо розв’язок системи (7.18) через y_E = (y₁, y₂, ..., y_N), суму компонент розв’язку y_E — через  (тобто ), структуру ринкового ПЦП — через , , а перші N компонент розв’язку системи (7.19) — через x_П = .

Згідно з результатом попереднього пункту y_E = x_E, а тому

З урахуванням отриманого, для лівої частини (N + 1)-го рівняння системи (7.19) має місце співвідношення:

а з урахуванням правої частини цього рівняння отримуємо, що

Тоді

тобто

Якщо покласти m_C = R_F, то х_N+1 = 1, тобто інвестор весь свій капітал розмістив у ЦП, необтяжені ризиком. Якщо ж m_C = m_E, то x_N+1 = 0, тобто весь капітал інвестується у ринковий портфель.

Виходячи з отриманих результатів, легко встановити, що

m_П = m_C; _П = ; х_П = _-

Приклад 7.15. 3 акцій виду А₁, А₂, А₃, описаних у прикладі 7.8, а також з безризикової акції А₄ (з нормою прибутку R_F = 10%) сформувати ПЦП з мінімальним ризиком, сподівана норма прибутку якого становила б:



а) m_С = 40%, б) m_C = 50%, в) m_C = 60%.

Розв’язання. З урахуванням умови задачі приходимо до системи рівнянь:

Як це було встановлено під час розв’язання прикладу 7.11, ринковий ПЦП, складений з акцій А₁, А₂, А₃, має структуру і при цьому m_E = 46,83%, _E = 12,388%.

а) Оскільки m_C = 40%, то

Тоді

= 0,8146  0,1701 = 0,1386;

= 0,8146  0,3428 = 0,2792;

= 0,8146  0,4871 = 0,3968;

= 1 – 0,1386 – 0,2792 – 0,3968 = 0,1854.

Оскільки = 0,1854, то це означає, що 18,54% капіталу буде розміщено у безризикові вкладення, а 81,46% капіталу — у ризикові.

Сподівана норма прибутку ПЦП становитиме m_П = m_C = 40%, його ризик — _П = 0,8146  _Е = 0,814612,388 = 10,0913 (%).

б) Для m_C = 50%

Тоді = 0,1847; = 0,3723; = 0,5290; = – 0,086, тобто з метою досягнення сподіваної норми прибутку ПЦП m_C = 50% інвестор повинен взяти кредит під R_F = 10% обcягом 8,6% (по відношенню до наявного капіталу) і весь капітал (наявний + кредит) інвестувати у ринковий ПЦП.

Ризик такого портфеля становитиме:

.

в) Для m_C = 60% маємо:

;

= 0,2309; = 0,4654; = 0,6613; = – 0,3576.

Тобто для досягнення сподіваної норми прибутку ПЦП m_C = 60%, необхідно взяти кредит обсягом 35,76% по відношенню до наявного капіталу.

Р

-

изик цього ПЦП становитиме . Якби ПЦП з такими характеристиками складався лише на основі ризикових ЦП, то йому відповідав би однорідний ПЦП, сформований з акцій виду А₃, ризик якого . Отже, включення в ПЦП безризикових ЦП забезпечує зменшення величини його ризику майже у 2,5 раза.