2.2 Классификация задачи с точки зрения поставленной цели, оценка требуемой точности.

Поставленной целью является определение зоны нагрузки мембраны датчика давления и отклонение её от заданной в ТЗ

Рассмотрим причины появления погрешностей в исследуемой модели.

Анализ возникающих в приборе погрешностей.

При создании приборов и оценке их показаний необходимо знать величины погрешностей, вызывающие их причины и методы их уменьшения. В зависимости от причин, вызывающих погрешности, различают методические и инструментальные погрешности.

Методические погрешности присущи приборам, основанным на использовании косвенных методов измерения. Они возникают из-за несовершенства метода, то есть неоднозначной связи между измеряемой величиной и величиной, воспринимаемой чувствительным элементом прибора.

Инструментальные погрешности порождаются изменением параметров и характеристик материалов, из которых сделан прибор, несовершенством технологии, влиянием внешних возмущений на параметры прибора.

По характеру изменения погрешности во времени все погрешности можно разделить на статические и динамические. Статические погрешности являются постоянными, а динамические – функциями времени, они возникают из-за фазовых запаздываний сигналов и в результате влияния на приборы вредных переменных возмущений. Динамические погрешности присущи всем приборам, работающим в динамическом режиме измерения.

Рассмотрим погрешности, возникающие в проектируемом датчике давления.

Для чувствительного элемента характерны такие погрешности, как упругий гистерезис и упругое последействие.

Упругий гистерезис вызывается потерями энергии на деформацию мембраны. Деформации упругих эле­мен­тов от­стают от вызвавших их усилий, в результате чего зависимость между по­каза­ниями прибора и измеряемой величиной при возрастании и убывании этой ве­личины будет неоднозначной.

Упругое последействие характеризует инерционность упругого элемента, проявляющуюся в зависимости от скорости изменения нагрузки. В результате показания после из­мене­ния из­меряемой величины не остаются постоянными.

Сумма этих погрешностей называется вариацией:

ΔW_в = ΔW_п + ΔW_г (2.2)

где ΔW_п – погрешность упругого последействия;

ΔW_г – погрешность упругого гистерезиса.

Общая относительная погрешность, характеризующая стабильность характеристики упругого элемента:

έ_В =ΔW_в/W_max * 100% (2.3)

Для мембранέ_Всоставляет 0,2¸1,5%.

Для снижения этой погрешности после изготовления упругие чувствительные элементы подвергают технологической тренировке.

Также для мембран характерна температурная погрешность, вызванная изменением модуля упругости материала при колебаниях температуры. Величина изменения деформации упругого элемента, вызванная изменением температуры окружающей среды:

ΔW_Т = W*α_Е*ΔT/(1 + α_ЕΔT) ≈ W*α_Е*ΔT (2.4)

Чтобы осуществить компенсацию температурной погрешности чувствительного элемента, используют специальные компенсаторы. Для данного прибора компенсация не требуется, так как он располагается внутри летательного аппарата и работает при небольшом перепаде температур, поэтому его температурная погрешность незначительна.

Также в приборе будут возникать погрешности из-за тре­ния в опорах прибора, что приводит к возникновению порога чувствительности. Для снижения этих погрешностей материалы для опор должны иметь высокую твер­дость, хо­рошо со­противляться истиранию, обеспечивать малый коэф­фициент трения и обладать хорошей устойчивостью против коррозии. При действии осевых усилий в качестве опорной поверхности применяют сферический конец цапфы или передают усилие от цапфы на подпятник через шарик. С целью уменьшения тре­ния в опоре материалы для цапф и подшипников следует брать различными. Большое зна­чение в уменьшении трения и уве­личении долговечности работы опоры имеет чистота отделки соприка­сающихся поверхностей цапфы и под­шипника. При высоких требованиях к трению втулки выполняются из технических камней.

Для потенциометров характерна методическая витковая погрешность, вызывающая ступенчатость характеристики (рис. 2.8). Она возникает из-за того, что сопротивление, аследовательно, и напряжение на выходе изменяется не плавно, а скачками при переходе щетки с одного витка на другой.

Рис. 2.8. Витковая погрешность потенциометра.

В случае плотной намотки, виток к витку, шаг витковой погрешности равен диаметру провода с изоляцией. Витковая погрешность определяет разрешающую способность потенциометра. Для снижения витковой погрешности можно увеличить на­пряже­ние пита­ния или увеличить число витков.

Кроме витковой погрешности, для потенциометров свойственны инструментальные погрешности, связанные с непостоянством электрического сопротивления провода по его длине, отступлениями от заданного шага намотки, неодинаковым периметром каркаса на отдельных участках. Также возможны потери электрического контакта из-за механических воздействий или коррозии и изменение сопротивления при колебаниях температуры. Снижение этих погрешностей возможно за счет выбора материалов щетки и обмотки с высокой износостойкостью, минимальным коэффициентом трения в паре и минимальным температурным коэффициентом изменения сопротивления.

В приборе будет присутствовать температурная инструмен­тальная по­грешность, которая появляется вследствие того, что некото­рые параметры при­бора, определяющие его точность, измеряют свои ха­рактеристики при из­мене­нии температуры окружающей среды. В нашем приборе, например, будет ме­няться модуль упругости упругого элемента. Так как температура окру­жаю­щей среды изменяется в широких пределах, то температурные погрешно­сти почти во всех авиационных приборах мо­гут достигать недопустимо боль­ших величин. Для устранения этих по­грешностей применяют специальные ком­пенсацион­ные устройства.

Также в приборе будут наблюдаться погрешности трения из-за тре­ния в опорах прибора. Материалы для опор должны иметь высокую твер­дость, хо­рошо со­противляться истиранию, обеспечивать малый коэф­фициент трения и обладать хорошей устойчивостью против коррозии. С целью уменьшения тре­ния в опоре материалы для цапф и подшипников следует брать различными. Большое зна­чение в уменьшении трения и уве­личении долговечности работы опоры имеет чистота отделки соприка­сающихся поверхностей цапфы и под­шипника. Обычно чистота поверхно­сти цапфы и подшипника в опорах прибо­ров выпол­няется в пределах 9-12-го классов.

Расчет характеристики чувствительного элемента (гофрированной мембраны).

Расчет гофрированных мембран сводится к расчету их характеристики при известных геометрических размерах и выбранном материале или определению геометрических размеров по заданной характеристике. Уточненный расчет характеристики мембраны представляет собой сложную задачу, так как существенное влияние на результаты расчета оказывает множество факторов: форма и глубина гофров, тип и размеры краевого гофра, параметры материала и многие другие. В связи с этим характеристику мембраны, как правило, не рассчитывают, а выбирают мембрану из числа нормализованных.

Поверочный расчет характеристики гофрированной мембраны с произвольным периодическим профилем без краевого гофра проводится по формуле:

Eh

P_i = ------------ (a₁ah²W_i­ + b₁bW_i³), (2.5)

R⁴

где Pi – давление, действующее на мембрану, [МПа];

Е – модуль упругости материала мембраны, [МПа];

h – толщина мембраны, [мм];

R – радиус мембраны, [мм];

a, b – коэффициенты, зависящие от формы и размеров гофра;

Wi – прогиб подвижного центра мембраны, равный:

W_max

W_i = N------ ,(2.6)

10

где N = 1, 2, … , 10;

W_max определяется из выражения (4.1) при P = P_max;

a_1, b₁ поправочные коэффициенты, учитывающие размеры жесткого центра. При отсутствии жесткого центра a₁ = b₁ = 1.

Данная формула позволяет рассчитать характеристики мембран, у которых величина прогиба W≤30h, число гофров n>3, плоский участок жесткого центра имеет радиус r≤0,3R для мембран с мелкой гофрировкой и r≤0,3R для мембран с глубокой гофрировкой. Эти условия соответствуют мембранам, используемым в большинстве датчиков давления.

Коэффициенты a и b определяются по формулам:

2(3 + ά)(1 + ά)

a = ------------------------ , (2.7)

3K₁(1 – μ²/ά²)

32K₁ (3 - μ)

b = ---------- [ 1/6 - ------------------ ] , (2.8)

(ά² – 9) (ά - μ)( ά + 3)

где μ – коэффициент Пуассона (для металлов μ = 0,3);

ά = K₁K₂ (4.5)

Крутизна характеристики чувствительного элемента определяется по формуле:

_NS_i

S = ------- ,(2.9)

ⁱ⁼¹ N

где S_i – крутизна характеристики мембраны на i-ом участке:

W_i – W_i-1

S_i = ------------ ,(2.10)

P_i – P_i-1

Исходя из конструктивных соображений, в соответствии с габаритами прибора и требуемой величиной его чувствительности была выбрана мембрана, изготовленная из бронзы БрБНТ-1,7, модуль упругости которой Е = 128ГПа. Ее геометрические параметры:

Тип гофра – синусоидальный.

Радиус мембраны R = 12мм.

Радиус жесткого центра r₀ = 3мм.

Толщина мембраны h = 0,1мм.

Высота гофра Н = 0,9мм.

Максимальное отклонение жесткого центра W_max = 0,6мм.

Число гофров n = 3.

Рис. 2.9. Мембрана.

Для выбранной мембраны коэффициенты K₁ = 1, K₂ = 122,5. Тогда:

ά = 1*122,5 = 11,068.

Получим значения коэффициентов a и b:

a = 113,26;

b = 0,042.

Поправочные коэффициенты, учитывающие размеры жесткого центра:

a₁ = 1;

b₁ = 1.13.

Определим величину максимального прогиба при P = Pmax.

Если P = 0,6МПа, то W = 0,565мм. Так как W<W_max и W составляет 93,8% от W_max, то выбранная мембрана подходит для данного прибора.

Найдем значения прогиба же­ст­кого центра W₁ по формуле (2.6) и значения Р_i по формуле (2.5) в зависимости от коэффициента N:

Таблица 2.1.

N	Wi	Pi
1	0,0565	0,039508
2	0,113	0,079048
3	0,1695	0,118651
4	0,226	0,158349
5	0,2825	0,198174
6	0,339	0,238157
7	0,3955	0,27833
8	0,452	0,318725
9	0,5085	0,359373
10	0,565	0,400307

Графическая зависимость между давлением и величиной прогиба, являющаяся нелинейной функцией, показана на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Зависимость перемещения жесткого центра мембраны W от входного давления Р.

Крутизна выходной характеристики мембраны S = 1,4 мм/Мпа

Определение частоты собственных колебаний мембраны.

Единственным динамическим параметром, определяемым при расчете датчика давления, является частота собственных колебаний мембраны. Ее можно определить по формуле (2.11).

w₀ = K/m , (2.11)

где К – коэффициент жесткости мембраны;

m – масса мембраны.

Коэффициент жесткости мембраны К равен отношению прираще­ния давле­ния к приращению отклонения жесткого центра мембраны:

K = DP/DW (2.12)

Массу мембраны m можно найти по формуле (2.13).

m = S_м * h * ρ , (2.13)

где S_м – площадь мембраны;

h – толщина мембраны;

ρ – плотность материала мембраны.

Площадь мембраны можно приблизительно определить по формуле (2.14).

S_м = 1/3 p*(R² + Rr + r²) (2.14)

где R - рабочий радиус мембраны;

r - радиус жесткого центра.

Площадь мембраны S_м = 1/3 p*(12² + 12*3 + 3²) = 198 мм²

Для бронзы БрБНТ-1,7 ρ = 0,00825 г/мм³.

Тогда масса мембраны m = 198 * 0,1 * 0,00825 = 2,3 г.

Найдем коэффициент жесткости мембраны: К = 0,6/0,57 = 1,05 МПа/мм.

Частота собственных колебаний мембраны:

w₀ = 1,05/2,3 = 457 с^-1

На основе феноменологических уравнений, законов сохранения вещества, уравнения движенияи уравнения баланса внутренней энергии, получается набор n+4 уравнений в частных производных для n+4 независимых переменных: плотности р,n—1 концентраций с₁, c₂,...,c_n-1 трех декартовых компонент _x, _y и v_z скоростии температуры Т. Уравнения состояния системы позволяют выразить - энергию и, равновесное давление р и химические потенциалы _k, входящие в систему дифференциальных уравнений, через эти незави­симые переменные.

(2.15)

(2.16)

Gråd v^s: (Gråd v)^s + (div v)² (2.17)

. К этим уравнениям необходимо добавить уравнения состояния:

p=p( , T) (2.18)

u=u( , Т). (2.19)

Область применимости гидродинамического рассмотрения ограничиваем только уравнениями (2.15), (2.16) и (2.18), принимая, что имеют место изоэнтропические условия. Давление является функцией только плотности, так что гидродинамическое поведение системы полностью описывается уравнениями (2.15) и (2.16).

В данной задаче применяем диффузионное приближение. Это приближение, которое предполагает, что различные диффузионные потоки действуют независимо друг от друга (пренебрегаем перекрестными членами вторых производных ).

Предположим, что все потоки в уравнениях (2.15) – (2.17) действуют независимо друг от друга ( ) (2.20), например, в задаче тепломассопереноса передача тепла условно не зависит от передачи массы. Это приводит к тому, что общую систему уравнений можно разделить на отдельные системы более низкого порядка и решать отдельные задачи. Задача упрощается за счет того, что обобщённые скорости потоков являются функциями только одной координаты, т.е. матрица коэффициентов Онсагера имеют линейную диагональную форму. В этом случае уравнения конвективного массопереноса представляют собой полилинейную форму, т.е. в декартовой системе координат Vx, Vy, Vz являются функцией только той координаты, по которой идет движение потока. В этом случае уравнение конвективного потока для скоростей по виду совпадает с уравнением переноса энергии.

(2.21)

Многие задачи механики (коле­бания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний вида

(2.22)

где неизвестная функция и(х,t) зависит от п (п = 1,2,3) пространст­венных координат х = (x₁, x₂ ,….. ,х_п) и времени t; коэффициенты , р и q определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс; свободный член F(x,t) выражает интенсивность внешнего возмущения (давление).

Уравнение малых поперечных колебаний мембраны

(2.23)

Так как плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны - Трехмерное волновое уравнение

(2.24)

Где x₁-x, x₂-y, x₃-z, f-граничные условия, t-температура, u-напряжение, a= , где s-площадь мембраны, m-масса мембраны.

Граничные условия.

⁼⁰ мембрана жёстко закреплена по радиусу

^{= 0} перемещение мембраны в радиусе 6 равно нулю

_ w_{0 собственная} частота мембраны.

Поскольку мы определяем динамическую случайную погрешность мы можем предположить, что на мембрану действует сила f, изменяющуюся по нормальному закону распределения. Значение силы f₀, начальный момент было рассчитано как m w_0\ /T0

f= f_0*