3. Синтез управляющего устройства.

3.1. Синтез регулятора состояния.

Управляющее устройство для стабилизации положения равновесия, называют регулятором.

Регулятор состояния описывается уравнением

где k– матрица коэффициентов регулятора

v– вектор переменных состояния

Для синтеза регулятора состояния наиболее часто используют два метода:

• метод размещения полюсов передаточной функции (ПФ)

• синтез линейно-квадратичного оптимального регулятора

3.1.1. Синтез регулятора состояния методом размещения полюсов (модальное управление).

Синтез начинается с назначения собственных значений, естественно в левой полуплоскости:

>>p=[-5, -1, -2, -7]'

Задача синтеза имеет решение если объект управления полностью управляем. В нашем случае это имеет место.

Матрица коэффициентов регулятора состояния находится по команде:

>> k=place(A,B,p)

k =

-10.4494 15.0000 73.0000 -1.1967

Уравнение объекта

и регулятора

образуют замкнутую систему

Подставим в это уравнение наши переменные состояния и матрицы AиB, чтобы получить уравнения в ФПС для замкнутой системы:

или после упрощения получим

Матрица замкнутой системы A – Bkдолжна иметь желаемые собственные значения. Проверим это:

>>eig(A-B*k)

ans =

-7.0000

-5.0000

-2.0000

-1.0000

Синтез выполнен правильно.

3.3. Имитационное исследование системы “нелинейный объект + линейный регулятор состояния”.

Линейный регулятор состояния обеспечивает устойчивость положения равновесия шара на балке при малых отклонениях. Для оценки области притяжения положения равновесия проведем имитационное исследование замкнутой системы (рис. 3.1.)

Рис. 3.1.

Проведем имитацию в Simulink, для тех же начальных значений. Полученные графики изображены на рис.3.2.

Рис.3.2.

Получили так же не устойчивую систему.

3.1.3. Синтез оптимального регулятора состояния

Обобщенный интегральный квадратичный критерий качества имеет вид:

где Q,r– «веса», выбором которых подбираем наши требования к процессам. Поскольку нет явной связи между весами и прямыми показателями качества, то матрицыQиrподбираются методом проб.

Пусть матрицы Qиrравны соответственно:

Q =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

r =1

Тогда коэффициенты оптимального регулятора, которые найдем по команде

>> k1=lqr(A,B,Q,r)

равны

k1 =

-19.6509 13.0835 85.0890 -4.0683

Они незначительно отличаются от коэффициентов, полученных первым способом.

3.2. Динамический регулятор

3.2.1. Синтез наблюдателя состояния

Регулятор состояния требует текущую информацию о полном векторе состояний , однако, практически удобно измерять только положение шара на балке х, поэтому ставится задача синтеза специального вычислителя, называемого наблюдателем состояния, целью которого является оценка полного вектора состояния.

Задача имеет решение если объект наблюдаем полностью. Динамика наблюдателя состояния должна быть более быстродействующей по сравнению с динамикой основного контура, поэтому при синтезе методом размещения собственных значений выберем желаемые их значения значительно левее от мнимой оси:

>>p0=[-10,-20,-15,-7]'

Матрица коэффициентов наблюдателя состояния:

>>L=place(A',C',p0)'

L =

52.0000

-204.6052

-70.0371

965.0000

3.2.2. Динамический регулятор.

Регулятор состояния вместе с наблюдателем образуют динамический регулятор (рис. 3.2. ), порядок которого совпадает с порядком ДУ объекта. Матричные операции, связанные с объединением регулятора состояния и наблюдателя выполняет команда:

>>[Ar,Br,Cr,Dr]=reg(A,B,C,D,k,L)

Ar =

-52.0000 0 0 1.0000

205.2545 -15.0000 -73.0000 1.1967

70.0371 1.0000 0 0

-965.0000 0 -107.8000 0

Br =

52.0000

-204.6052

-70.0371

965.0000

Cr =

-10.4494 15.0000 73.0000 -1.1967

Dr = 0