Введение.
Целью курсового проектирования является освоение методов синтеза алгоритма управления конечномерным нелинейным объектом. В качестве ОУ выбирается неустойчивая механическая система – шар на балке. Такие механические системы широко используются как упрощение модели важных реальных объектов, обладают наглядностью и используются как тестовые объекты при сопоставлении различных методов синтеза.
Основными этапами синтеза являются:
моделирование объекта аналитическим способом на базе законов механики
анализ ОУ имитационным и расчетным путем
синтез непрерывного регулятора, стабилизирующего заданное положение равновесия объекта
синтез дискретного регулятора
Для выполнения имитационного исследования, а также расчетов используется программа Matlab\Simulink фирмы The MathWorks, Inc [2]. В частности используется подсистема Control SystenToolbox. При оформлении пояснительной записки использован процессор текста MS Word 2000 [3].
Объект управления
1.1. Описание объекта
На рис.1.1. схематично изображен объект управления – шар на балке.
x
R
Рис. 1.1.
Система представляет собой шар, свободно катающийся, не проскальзывая, по балке. Балка закреплена на опоре и способна вращаться вокруг точки соприкосновения с опорой. Трением между балкой и опорой пренебрегаем. Будем считать, что шар не падает с балки при любом ее положении.
Задача данной работы состоит в обеспечении устойчивого положения шара, управляя, непосредственно, балкой посредством вращения ее на определенные углы. Управляющим воздействием является момент , приложенный к балке.
Для данного курсового проекта приняты следующие параметры:
m= 1кг
R= 0,1 м
J= 0,2
=
0,1
где
m– масса шара,R– радиус шара,J– момент
инерции шара,
- момент инерции балки.
Дифференциальные уравнения объекта
Дифференциальные уравнения нашей нелинейной системы имеют следующий вид:
где
m– масса шара,J– момент инерции шара,
- момент инерции балки,x– перемещение шара вдоль балки,- угол поворота балки,- момент, приложенный к балке.
Компьютерная имитация объекта
Компьютерную имитацию будем проводить с помощью программы Matlab\Simulink.
Реализация исходных дифференциальных уравнений упрощается, если д.у. представить в форме Коши.
Уравнение Коши получаются путем разрешения дифференциальных уравнений относительно первой производной.
Для нашей системе, если принять
и
можно записать дифференциальные уравнения в следующем виде:
В итоге мы получили следующие четыре уравнения:
На рисунке 1.2. представлена структура объекта в языке графического редактора Simulink.
Рис. 1.2.
На рисунке 1.2. выход верхней цепочки интеграторов соответствует переменной x, т.е. перемещению шара, выход нижней – переменной- углу поворота балки. В соответствии с уравнениями в мультиплексоры записаны выражения, связывающие переменные нашей системы. Выходом системы является перемещение шара (х).
Выберем следующие параметры имитации:
метод численного интегрирования Рунге-Кутта
min size=auto
max size=auto
stop time=2
На рис.1.3. приведены графики процессов при начальных условиях:
,
и
Рис.1.3.
Результаты имитации свидетельствуют о том, что положение равновесия является неустойчивым.