ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО

ПОЛЯ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.

ВВЕДЕНИЕ

Электромагнитным полем называется особый вид материи, оказывающий силовое воздействие на частицы материи, обладающие зарядом.

Электрический заряд это свойство тел или частиц материи, характеризующее их взаимосвязь с внешним электромагнитным полем. Понятием электричество в узком смысле этого слова обозначается количество заряда.

В широком смысле понятием электричество обозначается вся совокупность электромагнитных явлений, представляющих собой различные проявления электромагнитного поля и его взаимодействие с веществом.

Между электрическими и магнитными явлениями существует неразрывная связь. Электрическое и магнитное поля являются лишь двумя разными сторонами единого электромагнитного поля.

Электрическое поле обусловлено электрическими зарядами и изменением магнитного поля. Электрическое поле оказывает силовое воздействие на заряженные частицы вне зависимости от того находятся ли они в покое или в движении.

Магнитное поле обусловлено электрическими зарядами движущихся заряженных частиц и тел и изменением электрического поля. Магнитное поле оказывает воздействие только на движущиеся заряженные частицы.

При микроскопическом рассмотрении явлений в некоторых случаях может быть обнаружено только электрическое поле (например, при неподвижных по отношению к наблюдателю зарядах) или же только магнитное поле (например, поле постоянных магнитов).

Для удобства изучения закономерностей электромагнитного поля рассмотрим сначала электрическое, затем магнитное и наконец электромагнитное поле.

Часть 1. Электрическое поле

Электрическим полем называется одна из двух сторон электромагнитного поля, выявляемая по силовому воздействию на неподвижные заряженные тела и частицы.

Электрическое поле исследуется пробным зарядом. Пробный заряд представляет собой точечный заряд, имеющий столь малые заряд и размеры, что внесение его не искажает картины поля и что в пределах его внешнее поле можно рассматривать как однородное. В каждой точке поля на пробный заряд действует некоторая сила.

При изучении электрического поля его принято разделять на электрическое поле неподвижных зарядов – электростатическое поле и электрическое поле движущихся зарядов – электрическое поле постоянного тока.

1. Электростатическое поле

Электростатическое поле это частный вид электромагнитного поля. Оно создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени. Оно может существовать только там, где заряды могут находиться в покое, т.е. только в вакууме или в идеальном диэлектрике.

В основу определения электрического поля положено его механическое проявление. Оно описывается законом Кулона.

ЗАКОН КУЛОНА

Этот закон установлен опытным путём и говорит о том, что сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме пропорциональна произведению их, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей заряды.

(1)

где q₁ и q₂ заряды в кулонах; – расстояние между ними в метрах; - - единичный вектор, направленный по прямой, соединяющей заряды; 4 - множитель, необходимый для рационализированной системы единиц; F- сила в ньютонах; - электрическая постоянная; в практической рационализированной системе единиц

НАПРЯЖЁННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Для описания электрического поля в каждой его точке пользуются физическим понятием напряженности электрического поля. Напряженность электрического поля E – это векторная величина, характеризующая силовое действие электрического поля на заряженные тела и частицы. Она равна пределу отношения силы, с которой электрическое поле действует на неподвижный пробный заряд, внесённый в рассматриваемую точку поля, к величине этого заряда, когда последний стремиться к нулю. Направление напряженности электрического поля принимается совпадающим с направлением силы F, действующей на положительный пробный заряд

(2)

Часто, учитывая что заряд мал, приближенно записывают

(2а).

Таким образом, напряжённость – это силовая характеристика поля, численно равна силе, действующей на заряд, равный единице.

Зная напряженность во всех точках поля, можно провести линии напряженности электрического поля. Силовая линия – это мысленно проведённая в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле.

Проводится она таким образом, что касательная к ней дает направление напряжённости поля в этой точке. Таким образом, силовые линии электрического поля всегда конечны.

Если считать, что заряд q₁ = q создает поле, а q₂ = q₀ является пробным зарядом, то по формулам (1) или (2а) легко получить

Е . (3)

По соображениям симметрии линии напряженности должны быть радиусами, исходящими из точки расположения заряженного тела (рис. 1). Если поле создается не одним, а несколькими точечными зарядами, то совершенно очевидно, что сила, действующая на пробный заряд, будет равна векторной сумме сил, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Следовательно, для вычисления напряженности поля можно применить принцип наложения, который говорит о том, что напряженность результирующего поля равна геометрической напряженности полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

E = Е₁ + Е₂ + …+Е_n. (4)

Рис. 1

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Рассмотрим работу, совершаемую силами поля при перемещении единичного заряда на расстояние dl (рис. 2)

dA = Fdl = q₀ Edl = Edl.

При перемещении заряда из точки «а» в точку «b» работа

.

Рис. 2

Представим себе, что поле создано одним точечным зарядом q. Напряженность поля в любой точке равна

и работа при перемещении единичного заряда

φ_a - φ_b ,

где φ = - электрический потенциал, В.

В зафиксированной точке Р потенциал . Точку с нулевым потенциалом можно выбрать произвольно. Иногда её выбирают лежащей в бесконечности, иногда на поверхности земли.

Поместив точку с нулевым потенциалом в бесконечность и интегрируя вдоль радиуса, получим, что

+ const.

Таким образом, потенциал произвольной точки можно определить как работу, совершаемую силами поля по переносу единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Работа определяется с точностью до постоянной, значение которой мы не знаем. Потенциал φ_∞ = 0 по определению.

Работа сил поля при переносе точечного заряженного тела с единичным положительным зарядом из одной данной точки в другую называется разностью электрических потенциалов двух точек

u_ab. . . (5)

При определении разности потенциалов произвольную постоянную, с точностью до которой вычисляют потенциал, вычитают, и в разность потенциалов она не входит.

Работа сил поля при перемещении по замкнутому контуру

,

т.к. иначе это противоречило бы закону сохранения энергии (рис. 3). Этот же рисунок поясняет смысл линейного интеграла, который является скалярной величиной, и циркуляцию вектора. Равенство нулю работы сил поля при обходе по замкнутому контуру можно подтвердить и другим образом.

Рис. 3

После обхода по замкнутому контуру мы возвращаемся в точку «а», работа

.

В соответствии с принципом наложения можно положение, доказанное для точечного заряда, распространить на поля, созданные любыми зарядами.

Итак, работа сил электрического поля по замкнутому контуру равна нулю

. (6)

Линейный интеграл вектора по замкнутому контуру носит название циркуляции вектора. В соответствии с (6) можно сформулировать так: циркуляция вектора напряженности электрического поля равна нулю.

Отсюда следует, что линейный интеграл или работа не зависят от пути и определяются только положением точек.

Поверхности, на которых лежат тачки равного потенциала , называются поверхностями равного потенциала или эквипотенциальными поверхностями. Линии, получающиеся при сечении их другой поверхностью, называются линиями равного потенциала или эквипотенциалями.

Поверхности равного потенциала для одиночного заряда q – сферы с центром в точке нахождения заряда q (рис.4). Потенциал – величина скалярная, поэтому складываются потенциалы алгебраически. Для того чтобы определить потенциал какой-либо точки поля, созданного любыми зарядами, нужно подсчитать потенциал от каждого элементарного точечного заряда и просуммировать их (рис. 5).

Рис. 4

От каждого элемента

.

Рис. 5

Для объемных зарядов

,

для поверхностных

,

для линейных

dq .

Потенциал . . (6а)

Здесь ρ, σ, τ – объёмная, поверхностная и линейная плотность заряда, соответственно.

Поля, каждую точку которых можно охарактеризовать скаляр- ной величиной потенциал и для которых выполняются все ранее приведённые соотношения, называются потенциальными. Кроме электростатического, потенциальными являются гравитационные, температурные поля и т.д.

ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА.

Градиентом потенциала называют скорость изменения потенциала, взятую в направлении её наибольшего возрастания

; . . (7)

, (7a)

где ∇ - дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла).

Под дифференциальным оператором Гамильтона понимают сумму частных производных по трём координатным осям, умноженных на соответствующие единичные орты. Например, в декартовой системе координат

∇ = .

Градиент потенциала всегда направлен по нормали к поверхности равного потенциала. Если идти по эквипотенциальной поверхности, то приращение потенциала равно нулю, следовательно, наибольшее изменение будет происходить по перпендикулярному направлению (рис. 6, 6а).

Потенциал убывает в направлении силовых линий поля

.

Рис. 6

Дифференцируя, имеем

;

откуда

.

Так можно получить составляющие по всем осям.

. (8)

Т.к. напряженность , то, следовательно, она равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком

; . . (8a)

Рис. 6а

Следствие: линии напряженности электрического поля нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Из выражения (8) получаем размерность напряженности . Пробивное значение напряженности для воздуха .

Картина поля показана на рис. 6б.

Рис. 6б

ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЁННОСТИ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Введем предварительно понятие о потоке вектора. Представим, что по трубе течет вода со скоростью υ м/сек (рис.7). Сколько воды проходит в единицу времени через некоторую поверхность S?

Выделим элементарную площадку ds, через неё в единицу времени протекает воды. Здесь - угол между нормалью к площадке и направлением вектора скорости (рис. 8).

Следовательно, через всю поверхность протечет воды. Заметив, что под интегралом стоит скалярное произведение векторов, перепишем его в виде

.

Рис.7

Рис. 8

Это выражение в данном примере дает величину потока воды, потока вектора . Аналогичные выражения для любого другого вектора также называют потоком вектора. Например,

является потоком вектора напряженности электрического поля. Поток вектора через элемент поверхности является скалярной величиной и может оказаться положительным или отрицательным. Положительное значение означает, что он направлен в сторону ds, отрицательное значение – направлен в обратную сторону.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВЕЩЕСТВА

Сила взаимодействия заряженных тел зависит от свойств среды, в которой наблюдается это взаимодействие. Различают проводящую среду (вещества), в которой существуют свободные заряды q_св, и диэлектрики, в которых существуют связанные заряды q_связ и отсутствуют свободные.

Свободными называют заряды, которые под действием сил поля могут свободно перемещаться в веществе, их перемещение не ограничивается внутримолекулярными силами.

Под связанными понимают электрические заряды, входящие в состав вещества и удерживаемые в определённых положениях внутримолекулярными силами. Такие заряды связаны с данным веществом, неотделимы от него. Сумма положительных связанных зарядов равна сумме отрицательных связанных зарядов. Напряжённость электрического поля в диэлектрике всегда меньше, чем в вакууме. Объясняется это существованием в диэлектрике связанных зарядов.

Если какое-либо диэлектрик поместить в электрическое поле, то оно поляризуется. Под действием электрического поля в диэлектрике происходит упорядоченное смещение положительных зарядов по полю и отрицательных против поля. Часть зарядов окажется у поверхности диэлектрика, где их действие не будет скомпенсировано. Это упорядоченное изменение расположения связанных зарядов в диэлектрике, вызванное внешним электрическим полем и называется поляризацией вещества. Электрическое поле связанных зарядов всегда направлено противоположно внешнему электрическому полю, поэтому напряжённость поля в диэлектрике всегда меньше напряжённости электрического поля в вакууме.

Электрические свойства диэлектрика оцениваются абсолютной диэлектрической проницаемостью вещества ε (ε_а), которая сравнивается с электрическими свойствами вакуума ε₀

,

где ε₀ – относительная диэлектрическая проницаемость, имеет нулевую размерность.

ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ

Молекулы диэлектриков бывают двух типов – нейтральными (водород, кислород) или полярными (вода). У нейтральных молекул при отсутствии внешнего поля центры положительного и отрицательного электричества q совпадают. При появлении внешнего поля они расходятся на расстояние h. Молекула превращается в диполь с электрическим моментом p = hq (механический момент

Полярные молекулы всегда представляют собой диполи, но в веществе диполи находятся в хаотическом тепловом движении и внешне их заряды не обнаруживаются. Под действием электрического поля диполи начинают ориентироваться по полю. Поэтому в обоих случаях электрический момент некоторого объёма диэлектрика считают равным геометрической сумме электрических моментов диполей, заключенных в этом объёме. Электрический момент единицы объёма диэлектрика называется поляризованностью.

Более точно поляризованностью называется предел отношения электрического момента некоторого объёма диэлектрика к величине этого объёма, когда последний стремится к 0.

(9)

Для нейтральных молекул , где число молекул в единице объёма.

Для большинства диэлектриков

, (10)

где χ – абсолютная диэлектрическая восприимчивость, ;

- относительная диэлектрическая восприимчивость.

Электрическое поле в диэлектрике создаётся не только взаимодействующими зарядами, но и теми связанными зарядами, которые входят в состав вещества. Они ориентированы против поля и ослабляют его (рис. 9).

Рис. 9

Следовательно, поле в этом случае рассматривается как сумма двух полей. Для учёта этого явления и вводят вектор поляризации Р.

Если в объёме пространства, ограниченного поверхностью S , кроме свободных зарядов q_св имеется связанный заряд q_связ (т.е. заряд частиц, связанных внутримолекулярными силами, но уже не компенсирующийся зарядом другого знака), то для однородного и изотропного диэлектрика этот заряд появляется на границе диэлектрик-проводник (диэлектрик-вакуум) около поверхности заряженного проводника и имеет противоположный q_св знак (рис. 10).

Рис. 10

Из курса физики известно, что поток вектора поляризации P сквозь любую замкнутую поверхность равен взятой с обратным знаком алгебраической сумме связанных зарядов q_св, находящихся внутри этой поверхности:

(11).

ТЕОРЕМА ГАУССА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Электростатическая теорема Гаусса дает возможность вычислить напряженность поля, создаваемого зарядом конечных размеров, справедлива только для диэлектрика при наличии неизменных и неподвижных зарядов в однородной и изотропной среде.

Вычислим поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через замкнутую поверхность (рис. 11)

,

где Е .

Рис. 11

Из геометрии следует, что – проекция элементарной площадки на поверхность сферы радиуса . , где – пространственный угол, под которым видна площадка из точки расположения заряда

;

Если заряд находится внутри поверхности, то при обходе поверхности полный пространственный угол будет равен и

, (12)

т.е. поток вектора напряжённости электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, находящихся внутри этой поверхности, разделённой на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды – формулировка теоремы Гаусса в интегральной форме для однородной и изотропной среды. Она соответствует закону Кулона и принципу наложения.

Уравнение (12) является математическим выражение теоремы Гаусса в интегральной форме.

Если заряд расположен в пустоте, то ε = ε₀.

Если заряд находится вне поверхности, то естественно

.

Если заряд не точечный, то его можно разбить на элементарные точечные заряды, и просуммировать потоки (поток величина скалярная и суммирование производится алгебраически). В результате оказывается, что теорема Гаусса (5) справедлива для любого распределения зарядов.

При объемном распределении зарядов объемная плотность

и заряд тела .

При поверхностном распределении поверхностная плотность

; и заряд .

При линейном распределении линейная плотность

; и заряд .

Таким образом, во всех случаях поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен отношению электрического заряда, заключенного внутри поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости диэлектрика.

Т.к. элементарный поток через площадку, нормальную вектору напряженности,

(т.к. и cos ),

то

является плотностью потока. Густота линий поля даёт представление о величине напряженности.

Следствием теоремы Гаусса является то, что в проводнике заряд распределяется по поверхности.

Статическое состояние в проводнике может установиться лишь тогда, когда внутри проводника на заряженные частицы не будут действовать силы, т.е. когда напряженность поля внутри проводника станет равной нулю. Проводя внутри проводника любую замкнутую поверхность, получаем, что поток равен нулю, а значит, что внутри проводника зарядов нет и все они расположены снаружи.