3.4 Определение площадей по переходной кривой

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию , рисунок 9., определяемую формулой

(35)

Рисунок 12 – Вспомогательная функция

Определим изображение по Лапласу . Принимая во внимание формулу (6) получим

(36)

Разложим в ряд по степеням в точке =0:

, (37)

где .

Коэффициенты разложения носят название моментов вспомогательной функции и могут быть вычислены непосредственно по графику .

Установим связь моментов с функцией . Запишем формулу прямого преобразования Лапласа для :

. (38)

Дифференцируя формулу (19) по последовательно раз получим:

(39)

Подставляя в (38) и (39) значение и сравнивая полученные выражения с формулами для моментов (37), получим:

(40)

Как видно из формул (40) моменты могут быть вычислены по известной функции . Установим связь между моментами и площадями .

Преобразуем формулу (36),

,

или

.

Отсюда следует,

. (41)

Подставляя разложения (37) и (24) в (41) получим

,

или

(42)

Умножая и приводя подобные члены, получим

. (43)

Из (43) следует,

(44)

Из последних уравнений получаем рекуррентные формулы для вычисления площадей:

(45)

Таким образом, алгоритм оценки параметров модели может быть записан следующим образом,

(46)

где ;

(47)

и

, (48)

Формулы (46) – (48) определяют последовательность расчета параметров модели.

3.5. Вычисление моментов численными методами

Для вычисления интегралов в формулах (46) может быть использован метод трапеций. Бесконечный предел интегрирования в (46) заменяется конечным:

. (49)

Значение , рисунок 11, выбирается так, чтобы .

Рисунок 13 – Разбиение графика

Интервал разбивается на равносторонних интервалов,

. (50)

Число интервалов разбиения выбирается таким, чтобы на каждом интервале мало отличалось от отрезка, соединяющего соседние точки.

Согласно формуле трапеций интеграл вида,

, (51)

заменяется суммой,

, (52)

где .

Для вычисления моментов (49) формула (52) принимает вид

(53)

Формулы (34) используются в программе Simou.exe для расчета параметров модели.

Дадим оценку точности метода площадей. На рисунке 14 приведены графики функций для значений . Моменты , , пропорциональны площади под графиком , формулы (46), (49). При практических расчетах моментов вносится погрешность, обусловленная конечностью интервала интегрирования. Величина погрешности пропорциональна «отброшенной» площади, на рисунке 14, она заштрихована. Если для функции отброшенная площадь практически равна нулю и не влияет на точность вычисления момента , то для старших моментов отброшенная площадь и, соответственно, погрешность вычислений возрастает. Для обеспечения приемлемой точности модели на практике ограничиваются вычислением не более 3-х, 4-х моментов (площадей), что ограничивает порядок модели.

T_п

t

0

Рисунок 14 – Оценка точности вычисления моментов