График приведен на рисунке 10.

Рисунок 10 – График вспомогательной кривой

График функции можно рассматривать как реакцию некоторого вспомогательного (фиктивного) объекта с самовыравниванием на скачкообразное воздействие с амплитудой . Тогда передаточную функцию этого объекта можно записать следующим образом

, (10)

где

= . (11)

Параметры передаточной функции могут быть найдены по основной схеме метода площадей для объекта с самовыравниванием.

Запишем изображение по Лапласу функции

= = = , (12)

или

= . (13)

Рассмотрим теперь график функции . Его можно рассматривать как реакцию (кривую разгона) идеального интегрирующего звена на тоже самое скачкообразное воздействие с амплитудой . Определим изображение по Лапласу функции

= = = (14)

Преобразуем последнее выражение следующим образом

= = (15)

Передаточная функция соответствует идеальному интегрирующему звену.

Из формул (14) и (15) следует, что , отсюда определяем

(16)

Передаточная функция соответствует идеальному интегрирующему звену.

Преобразуем теперь по Лапласу уравнение (9), в результате получим

= – (17)

Подставляя в последнее уравнение

= (18)

и значения и из уравнений(15) и (13) получим

= = – . (19)

Сократив на общий множитель получим формулу для передаточной функции объекта с самовыравниванием

= – (20)

Учитывая запаздывание получим окончательно

=( – ) (21)

Выражение в скобках необходимо привести к общему знаменателю.

Передаточной функции (модели) (21) соответствует структурная схема, приведенная на рисунке 11.

Рисунок 11 – Структурная схема модели объекта без самовыравнивания

Таким образом, определение модели объекта без самовыравнивания осуществляется в следующей последовательности:

1. Выделяется запаздывание и строится кривая разгона в отклонениях, рисунок 8;

2. Строится асимптота к кривой разгона, рисунок 9;

3. Определяется коэффициент наклона к асимптоте А₁, формула (8)

A_{1 ;}

4. Определяется коэффициент усиления интегратора К₁, формула (16)

;

5. Строится вспомогательная кривая разгона , рисунок 10,

=

6. Определяется коэффициент усиления вспомогательного объекта, формула (11)

= ;

7. Методом площадей Симою М.П. определяются параметры передаточной функции

Еще раз напомним, что метод площадей будет описан ниже.

8. По формуле (21) определятся передаточная функция объекта без самовыравнивания

= ( – ) .

Выражение в скобках необходимо привести к общему знаменателю.

3.3 Определение параметров модели по площадям

В настоящем разделе будет описана процедура определения параметров передаточной функции модели объекта с самовыравниванием. Для вывода основных формул использован подход, предложенный в работе.

Рассмотрим инверсную передаточную функцию модели

. (22)

Разложим в ряд Тейлора в точке s=0:

, (23)

где =S₀=1.

Коэффициенты разложения названы М.П.Симою площадями [1].

При известных площадях легко определяются коэффициенты передаточной функции a_i, b_i.

Для этого умножим обе части равенства (23) на знаменатель . В результате получим

. (24)

Раскрывая скобки в правой части (24) и приводя подобные члены получим степенной ряд

Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях s слева и справа, получим линейную систему уравнений для определения коэффициентов модели :

(25)

Для определения коэффициентов необходимо N =m + n уравнений и такое же количество площадей. Поскольку, как правило, порядок модели заранее не известен, необходимо задаваться порядком модели.

Рассмотрим частные случаи:

1. . (26)

В зтом случае и для определения параметров модели достаточно знать N=n площадей, система (26) приводится к виду

(27)

Простейшими моделями такого вида являются:

1.1. (28)

1.2. (29)

1.3. (30)

Необходимо иметь в виду, что все используемые площади должны быть положительными. В противном случае модель не устойчива (критерий Стодолы).

2. . (31)

Для определения 3-х коэффициентов необходимо 3 уравнения. Система (25) принимает вид:

(32)

Из последнего уравнения системы (32) находим , подставляя в первые два находим .

3. . (33)

(34)