7.2 Степень колебательности

Алгоритм регулирования оптимален, если достигается минимум принятого показателя точности регулирования при выполнении ограничения на заданный запас устойчивости и робастность.

В общем случае расчет оптимальных параметров регулятора состоит из двух этапов:

1) Определение границы области допустимого запаса устойчивости в про­странстве параметров настройки регулятора.

2) Определение в пределах этой области точки, в которой минимизируется выбранный критерий оптимальности.

Рассмотрим расчет оптимума настройки ПИ-регулятора при ограничении на запас устойчивости по корневому показателю колебательности.

Учитывая передаточную функцию ПИ-регулятора, условие границы требуемого запаса устойчивости для системы с таким регулятором конкре­тизируем следующим образом:

(76)

или, обозначив

(77)

Перепишем это комплексное уравнение в виде двух обычных уравнений для вещественной и мнимой частей:

(78)

Второе уравнение позволяет записать зависимость коэффициента при инте­гральной составляющей от частоты:

(79)

Задавшись некоторым значением частоты, можно по этой формуле определить , после чего из первой формулы (78)

(80)

находится значение коэффициента передачи регулятора, а из формулы

(81)

— значение постоянной интегрирования. Произведя подобные расчеты для доста­точно большого числа частот, можно в плоскости параметров настройки регулято­ра построить границу области допустимого запаса устойчивости.

Если критерием оптимальности выбран линейный интегральный, которому соот­ветствует максимум , можно, прежде чем переходить к определению , найти мак­симум функции (79). После определения доминирующей частоты , при кото­рой он имеет место, из (80) находится оптимальное значение коэффициента передачи регулятора, а затем по (81) оптимальное значение постоянной времени интегрирования. Частота определяет частоту колебаний доминирующей компо­ненты, оказывающей основное влияние на формирование процесса регулирования.

При расчетах по квадратичному интегральному критерию поиск соответ­ствующей точки обычно производится на границе требуемого запаса устойчивости.

Пример. На рис. 20 выполнен расчет оптимума настройки ПИ-рсгулятора в системе с объек­том но линейному и квадратичному интегральным критериям при ограничении на запас ус­тойчивости по корневому показателю колебательности m=0,366.

Расчет оптимума настройки но линейному критерию выполняется построением по формуле (79) графика зависимости от (график «а»), максимум которого имеет место при и равен значению критерия: . После определения по формуле (80) оптимального значе­ния коэффициента передачи регулятора находится оптимальное значение постоянной времени интегрирования . На графике «б» точка оптимума обозначена кружком, и гра­фически определяется точкой касания касательной, проведенной к границе области запаса устой­чивости из начала координат.

Расчет оптимума настройки по квадратичному интегральному критерию требует предвари­тельного построения границы области запаса устойчивости (график «б»). Для поиска оптимума следует, начиная от частоты максимума вводить возрастающее значение доминиру­ющей частоты . Программа находит соответствующие требуемому запасу устойчивости значе­ния параметров настройки и вычисляет значение интегрального квадратичного критерия (оптимизация производится относительно возмущения, действующего со стороны регулирующего органа ). Минимум интеграла достигается при , ког­да параметры настройки принимают значения и . На графике «б» эта точка обозначена крестиком.

Рисунок 20 – Расчет настройки ПИ-регулятора по линейному и квадратичному интегральным критериям

Рисунок 20 (продолжение)

В заключение с помощью формулы строятся графики процессов регулирования для обо­их критериев (рис. «д») — сплошной кривой для линейного критерия, пунктиром для квадратич­ного. Для оценки требуемого в этой формуле верхнего предела интегрирования, предварительно строятся графики амплитудной частотной характеристики системы (рис. «в») и спектральной плотности регулируемой величины (рис. «г»).

Сравнение полученных в примере процессов регулирования для линейного и квадратичного критериев свидетельствует, что, хотя максимальные выбросы по амплитуде оказываются в обоих случаях практически одинаковыми, процесс для квадратичного критерия обладает меньшим пе­ререгулированием (выбросом в отрицательную сторону). Это, по существу, и явилось причиной распространения рекомендации выбирать оптимум настройки ПИ-регулятора на линии посто­янства границы запаса устойчивости (рис. 20, а) исходя из минимума квадратичного интеграль­ного критерия.

Тем не менее, при сравнении критериев следует иметь в виду и некоторые другие факторы. В частности, необходимо учитывать объем информации о свойствах объекта, которым необходи­мо располагать при расчетах. Если при использовании линейного критерия достаточно знать толь­ко модель одного (регулирующего) канала объекта, то при использовании квадратичного, помимо модели указанного канала, необходимо располагать моделями каналов всех возмущений, посколь­ку оптимум настройки но этому критерию оказывается различным для различных каналов. Так, расчет, выполненный с использованием программы рассмотренного примера показывает, что оп­тимум настройки по квадратичному критерию относительно изменения задания регулятору (для чего достаточно заменить передаточную функцию системы) отличается от на­стройки, полученной в примере для возмущения, входящего в объект со стороны регулирующего органа.