Билет№10

1)Определение

Две плоскости называются перпендикулярными, если любой из образованных ими двугранных углов равен 90°.

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Две пере­секающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром. Если один из этих двугранных углов равен φ, то другие три угла равны соответственно 180° — φ, φ, и 180° - φ.

В частности, если один из углов прямой (φ = 90°), то и остальные три угла прямые. Если φ — тот из четырех углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями ра­вен φ.

Очевидно, 0°< φ <90°.

Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плос­кости стены и пола, стены и потолка комнаты.

Ясно, что все четыре двугранных угла, образованные взаимно перпендикулярными плоскостями, прямые.

Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскос­ти перпендикулярны.

Доказательство

Рассмотрим плоскости ά и β такие, что плоскость ά проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости β и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что ά β. Плоскости ά и β пересекаются по некоторой прямой АС, причем АВ АС, так как по условию АВ β, и, значит, прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

Проведем в плоскости β прямую АD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол ВАD — линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей ά и β. Но ВАD = 90° (так как AВ β). Следовательно, угол между плоскостями ά и β равен 90°, т. е. ά β.

Теорема доказана.

Следствие

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

2)Усеченная пирамида

Усечё́нная пирами́да — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды.

Боковые грани усеченной пирамиды — трапе­ции.

Доказательство

Рассмотрим, например, боковую грань А₁А₂В₂В₁ на рисунке. Стороны А₁А₂ и В₁В₂ параллельны, поскольку принадлежат пря­мым, по которым плоскость РА₁А₂ пересекается с параллель­ными плоскостями ά и β. Две двугие стороны А₁В₁ и А₂В₂ этой грани не параллельны — их продолжения пересекаются в точ­ке Р. Поэтому данная грань — трапеция.

Утверждение доказано

У сеченная пирамида называется правильной, если она полу­чена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Основания правильной усеченной пирамиды — пра­вильные многоугольники, а боковые грани — равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называ­ется сумма площадей ее боковых граней.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной усе­ченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Доказательство

Поскольку в правильной пирамиде все рёбра равны, а секущая плоскость β параллельна основанию, то рёбра усечённой правильной пирамиды равны между собой, а её грани- равнобедренные трапеции. Площадь равнобедренной трапеции равна S=0.5*(AA+BB)*H. Высотой в данном случае будут являться апофема. Поскольку все грани у правильной усечённой пирамиды равны, то и апофемы у них равны. Тогда:

S=0.5*(A₁A₂+B₁B₂)*H+0.5*(A₂A₃+B₂B₃)*H…0.5*(A_n-1A_n+B_n-1B_n)=0.5(P_н.осн.+P_в.осн.)*H,

где H- апофема, P_н.осн.- периметр нижнего основания, P_в.осн.- периметр верхнего основания.

Теорема доказана.