- •Билет№1
- •1) Аксиомы стереометрии и следствия из них.
- •2) Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды
- •Б илет №2
- •Билет№3
- •Билет№4
- •1) Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
- •2) Теорема
- •Билет№5
- •2) Понятие
- •Билет№6
- •2) Теорема
- •Билет№7
- •1) Понятие
- •2)Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
- •Билет№8
- •1)Определение
- •Б илет№9
- •1)Параллельные плоскости
- •Билет№10
- •1)Определение
- •2)Усеченная пирамида
- •Билет№11
- •2)Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
- •Билет№12
- •1) Углы с сонаправленными сторонами.
- •2)Теорема
- •Билет№13
- •2)Теорема
- •Б илет№14
- •1°. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
- •2°. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- •2)Теорема
- •Билет№15
- •2)Теорема
Билет№4
1) Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.
Теорема
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту п лоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Доказательство. Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости ά, и прямую СD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ. Докажем, что АВ и СD — скрещивающиеся прямые, т. е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и СD лежат в некоторой плоскости β, то плоскость β будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадет с плоскостью ά. Но это невозможно, так как прямая СD не лежит в плоскости ά.
Теорема доказана.
Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
а) прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку;
б) прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;
в) прямые скрещивающиеся, т. е. не лежат в одной плоскости;
Докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.
Теорема
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой п рямой, и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ и СD. Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой СD, и притом только одна.
Проведем через точку A прямую АЕ, параллельную прямой СD, и обозначим буквой ά плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая СD не лежит в плоскости ά и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая СD параллельна плоскости ά.
Ясно, что ά — единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и параллельная прямой СD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, пересекается с прямой АЕ, а значит, пересекается и с параллельной ей прямой СD.
Теорема доказана.
2) Теорема
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство
Рассмотрим прямую а, которая перпендикулярна к прямым p и q, лежащим в плоскости ά и пересекающимся в точке О. Докажем, что а ά. Для этого нужно доказать, что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости ά.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая а проходит через точку О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m (если прямая m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму прямую m). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках Р, Q и L. Будем считать для определенности, что точка Q лежит между точками Р и L.
Так как прямые p и q — серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР = ВР и AQ = ВQ. Следовательно, АРQ= ВРQ по трем сторонам. Поэтому АРQ= ВРQ.
Сравним теперь треугольники АРL и ВРL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР= ВР,PL—общая сторона, АРL— ВРL), поэтому АL — ВL. Но это означает, что треугольник АВL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. l а. Так как l||т и l а, то т а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Таким образом, прямая а перпендикулярна к любой прямой т плоскости ά, т. е. а ά.
Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а1, параллельную прямой а. По упомянутой лемме а1 р и а1 q, поэтому по доказанному в первом случае а1 ά. Отсюда (по первой теореме п. 16) следует, что а ά.
Теорема доказана.