Билет№12

1) Углы с сонаправленными сторонами.

Любая прямая, лежащая в плос­кости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Эта прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей. Любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей — по разные стороны от этой прямой.

Два луча ОА и 0₁А₁, не лежащие на одной прямой, назы­ваются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей OO₁.

Лучи ОА и O₁А₁, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. Докажем теорему об углах с сонаправленными сторонами.

Теорема

Если стороны двух углов соответственно со­направлены, то такие углы равны.

Доказательство

Рассмотрим углы О и О₁ с соответ­ственно сонаправленными сторонами и докажем, что АО= АО₁.

Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки A и В и от­ложим на соответственных сторонах угла O₁ отрезки O₁А₁ — ОА и O₁В₁=ОВ .

Четырехугольник OO₁А₁А является параллелограммом, так как противопо­ложные стороны

ОА и O₁А₁ параллельны и равны. Отсюда следует, что АА₁||OO₁ и АА₁= OO₁. Аналогично четырехуголь­ник OO₁B₁B является параллелограммом, поэтому ВВ₁||OO₁ и ВВ₁=OO₁. Так как АА₁||OO₁и BВ₁||OO₁, то по теореме о трех параллельных прямых АА₁||ВВ₁. Кроме того, АА₁=ВВ₁, поскольку каж­дый из этих отрезков равен OO₁. Таким образом, в четырехугольнике АВВ₁А₁ противоположные стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны и равны. Сле­довательно, этот четырехугольник — параллелограмм, и, значит, АВ = А₁В₁.

Сравним теперь треугольники АОВ и А₁0₁В₁. Они равны по трем сторонам, и поэтому О= О₁.

Т еорема доказана.

Угол между прямыми

Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямы­ми. Пусть АВ и СD — две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку М₁ пространства и проведем через нее прямые А₁В₁ и С₁D₁, соответственно параллельные прямым АВ и СD.

Если угол между прямыми А₁В₁ и С₁D₁ равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD равен φ.

Д окажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М₁. Действительно, возьмем любую другую точку М₂ и проведем через нее прямые А₂В₂ и С₂D₂, со­ответственно параллельные прямым АВ и СD. Так как A₁B₁||A₂B₂, C₁D₁||C₂D₂, то стороны углов с вершинами М₁ и М₂ попарно сонаправлены. Поэтому эти углы соответственно равны. Отсюда следует, что угол между прямыми A₂B₂ и C₂D₂ также равен φ.

2)Теорема

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство

Рассмотрим плоскость ά и две парал­лельные прямые а и b, расположенные так, что прямая b лежит в п лоскости ά, а прямая а не лежит в этой плоскости . Докажем, что а||ά. Допустим, что это не так. Тогда прямая а пересекает плоскость ά, а значит, по лемме о пересечении плоскос­ти параллельными прямыми прямая b также пересекает плос­кость ά. Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости ά. Итак, прямая а не пересекает плоскость ά, поэтому она парал­лельна этой плоскости.

Теорема доказана.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

1 . Если плоскость проходит через данную прямую, парал­лельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

П усть через данную прямую а, параллельную плоскости ά, проходит плоскость β, пересекающая плоскость ά по прямой b. Докажем, что b||a. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости β) и не пересекаются: ведь в против­ном случае прямая а пересекала бы плоскость ά, что невозможно, поскольку по условию а||ά.

2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

В самом деле, пусть а и b — параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости ά. Тогда прямая а не пере­секает плоскость ά, и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также не пере­секает плоскость ά. Поэтому прямая b либо параллельна плос­кости ά, либо лежит в этой плоскости.