9.Графічний метод розв*язку задач лп, що містять дві змінні.

Якщо задача лінійного програмування містить не більше 2 змінних то вона може бути розв*язана графічним методом.Алгоритм розв*язку задач ЛП графічним методом:

1.Потрібно побудувати область допустимих розв*язків. Для цього нерівності із системи обмежень записуються у вигляді рівнянь, кожне із цих рівнянь на площині задає деяку пряму лінію. Із кожного з отриманих рівнянь знаходимо координати двох точок і по них будуємо прямі.Далі знаходимо область допустимих розв*язків. (Допустимий розв’язок – це такий впорядкований набір чисел Хj = (Х1; Х2), який при підстановці в систему, кожну нерівність системи перетворює в правильну.Область допустимих розв’язків – це сукупність усіх допустимих розв’язків задачі.Оптимальний розв’язок – це такий допустимий розв’язок задачі який дає найбільше або найменше ( в залежності від умови задачі) значення цільової функції.Оптимальний роз’язок задач лінійного програмування завжди знаходиться на межі області допустимих розв’язків.)

2. Знаходження оптимального розв*язку задачі:

-побудова градієнта цільової функції (вектор координати якого рівні відповідним частинним похідним 1 порядку цієї функції. У випадку лінійної функції, координати градієнта рівні відповідним коефіцієнтам, що стоять при змінних в цільовій функції.) Градієнт показує напрямок найшвидшого зростання значення функції.-знаходимо оптимальний розв*язок-розміщуємо лінійку перпендикулярно до градієнта, якщо задача на максимум, то лінійку необхідно рухати в напрямку, що вказує вектор до тих пір, поки не дійдемо до самої крайньої точки області допустимих розв*язків, якщо задача на мінімум, то рухатись потрібно в протилежному напрямі. Сама крайня точка ї є розв*язком задачі.

- Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

Графічний метод для визначення оптимального плану задач лінійногопрограмуваннядоцільнозастосовуватилише для задач іздвомазмінними. За більшоїкількостізміннихнеобхіднозастосовуватиінший метод.

11.Формизапису задач ЛП, їх еквівалентність і способи перетворенняІснують три форми запису математичної моделі задач лінійного програмування:1)загальна форма:max (min) Z = с1х1+ с2х2 + … + спхп

а11х1 + а12х2 + … +а1пхп ≤ в1

аs1х1 + аs2х2 + … +аsпхп=вs

............................................

аp1х1 + аp2х2 + … +аpпхп ≥ вp

.............................................

аm1х1 + аm2х2 + … +аmпхп ≥ вm

Особливістю цієї форми запису є те, що в системі основних обмежень можуть одночасно бути присутні рівняння і нерівності, або ж нерівності обох видів. 2)стандартна форма запису:

maxZ = с1х1+ с2х2 + … + спхп

а11х1 + а12х2 + … +а1пхп ≤ в1

аm1х1 + аm2х2 + … +аmпхп ≤ вm

Хі ≥ 0, (і =1, п)або

minZ = с1х1+ с2х2 + … + спхп

а11х1 + а12х2 + … +а1пхп ≥ в1

аm1х1 + аm2х2 + … +аmпхп ≥ вm

Хі ≥ 0, (і =1, п)Особливості:

На усі невідомі задачі обов’язково накладається умова невід’ємності;

Якщо задача на максимум, то усі основні обмеження обов’язково повинні бути нерівностями виду « ≤ », якщо на мінімум, то нерівностями виду « ≥ ».

3)Канонічна форма запису:

max(min)Z = с1х1+ с2х2 + … + спхп

а11х1 + а12х2 + … +а1пхп = в1

аm1х1 + аm2х2 + … +аmпхп = вm

Хі ≥ 0, (і =1, п)

Особливості:

На усі невідомі задачі обов’язково накладається умова невід’ємності;

Усі основні обмеження є рівняннями.

Шляхи переходу від однієї форми запису до іншої:

1.Будь-яку задачу на пошук максимуму завжди можна представити як задачу на пошук мінімуму, а саме:

maxZ = с1х1+ с2х2 + … + спхп

minZ = -с1х1-с2х2 - … -спхп

2.Завжди можна змінити знак нерівності на протилежний, помноживши обидві частини нерівності на « -1 »;

3.Будь-яку нерівність видуа1х1 + а2х2 + … +апхп ≤ в, можна представити у вигляді рівнянняа1х1 + а2х2 + … +апхп+ Хп+1 =в, де Хп+1≥0

4.Нерівності видуа1х1 + а2х2 + … +апхп ≥вможна представити у вигляді рівнянняа1х1 + а2х2 + … +апхп- Хп+1 =в, де Хп+1≥0

5. Будь-яке рівняння можна представити у вигляді системи двох нерівностей,а саме:

а1х1 + а2х2 + … +апхп =в

а1х1 + а2х2 + … +апхп ≥в

а1х1 + а2х2 + … +апхп ≤ в

6.Якщо деяка змінна Хі може набувати як додатніх так і від’ємних значень, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних змінних

Хі =Хі- Хі

12. Знаходження опорного розв*язку. Симплексні таблиці симплексні перетворення.

Симплексний метод є універсальним методом розвязку задач лінійного програмування, тобто будь-яку задачу лінійного програмування можна розвязати цим методом.

Для того, щоб застосувати цей метод, необхідно щоб виконувались наступні умови:

-Математична модель записана в канонічній формі;

-знайдено опорний розвязок задачі;

-складено початкову симплексну таблицю.

Для того, щоб знайти опорний розвязок, необхідно щоб виконувались умови:

-вільні члени рівнянь повинні знаходитись з правої сторони і бути невід ємними

-в системі повинен бути виділений базис.

Базисними називають змінні, які задовольняють наступні умови:

*перед базисними змінними обовязково стоїть коефіцієнт +1;

*базисна змінна знаходиться тільки в одному рівнянні;

*різні базисні змінні містяться в різних рівняннях;

*кількість базисних змінних рівна кількості рівнянь, тобто кожне рівняння містиь свою базисну змінну.

Усі інші змінні в системі називають вільними. Якщо вільним змінним надати значення нуль, і обчислити чому рівні базисні, то отримаємо базисний розвязок.

Опорним називають розвязок, який не містить від ємних чисел.

Якщо задача на пошукмін, то знайденийопорнийрозвязок є оптимальним, якщосередоцінокзміннихвідсутнідодатні числа. Якщо ж додатні числа присутні, то необхідношукатиіншийопорнийрозвязок, для цьогосереддодатнихоціноквибираєтьсянайбільша, цяоцінкавідповідаєтійзмінній, яку необхідно ввести в базис. Отже, одну із «старих» базиснихзміннихдоведетьсявилучити, для того, щодізнатися, яку самезміннувилучати, необхіднознайтисимплекснівідношення. Серед них ми шукаємонайменше, воновідповідаєтійзміннійзамістьякоїнеобхіднозаписатиновубазиснузмінну.

Новатаблицязаповнюється за наступними правилами:

На перетинівибраного рядка і стовпчиказнах. Число , яке називаєтьсяключовий ел-т, на йогомісцізаписуємо 1;

Усіінші числа стовпчикаперетворюються в «0»

Далізаписується рядок, в якомурозміщенийключовийел-т. для цього ми маємоподілити числа, які там стоять на ключовий ел-т;

Усіінші числа обч. методом Жордана_Гауса.