23. Побудова циклів перерозрахунку для знаходження нового опорного розв’язку.

Циклом перерозрахунку у таблиці умов транспортної задачі називається замкнута ламана лінія, одна з вершин якої перебуває в порожній клітинці(яку треба завантажити) а всі інші вершини розташовані в зайнятих клітинках таблиці. Ланки цієї ламаної розташовуються уздовж («паралельно») рядків і стовпців, причому в кожній вершині циклу зустрічаються рівно дві ланки, одна із яких перебуває в рядку, а інша – у стовпці. Якщо ламана лінія, що утворить цикл, перетинається, то точки перетинання не є її вершинами. Відзначимо, що число клітинок, що утворять цикл, завжди парне.

За умови правильної побудові опорного плану для будь-якої вільної клітинки можна побудувати лише один цикл. Після того як для обраної вільної клітинки він побудований, варто перейти до нового опорного плану. Для цього треба перемістити вантажі в клітинках, які перебувають у вершинах побудованого циклу. Це переміщення роблять за наступними правилами:

• кожній із клітинок, зв’язаних циклом з даною вільною клітинкою, приписують певний знак (у верхньому лівому куті клітинки), причому вільній клітинці – знак плюс, а всім іншим клітинкам – по черзі знаки мінус і плюс (будемо називати ці клітинки мінусовими й плюсовими)

• у дану вільну клітинку переносять мінімум із чисел xij , що розташовані у мінусових клітинках. Одночасно це число додають до відповідних чисел, що розташовані у плюсових клітинках, і віднімають із чисел, що розташовані у мінусових клітинках. Клітинка, що раніше була вільною, стає зайнятою, а мінусова клітинка, у якій стояло мінімальне із чисел xij , вважається вільною.

Описаний вище перехід від одного опорного плану Т-задачі до іншого її опорного плану називається зрушенням за циклом перерахунку.

Слід зазначити, що при зрушенні за циклом перерахування число зайнятих клітинок залишається незмінним, а саме залишається рівним n + m − 1. При цьому якщо в мінусових клітинках є два (або більше) однакових числа xij , то звільняється лише одна з таких клітинок (ставиться прочерк), а інші залишаються зайнятими з нульовими поставками (у цих клітинках записуємо нуль).

4. Класифікація задач і методів математичного програмування.

У математичному програмуванні виділяють два напрямки — детерміновані задачі і стохастичні. Детерміновані задачі не містять випадкових змінних чи параметрів. Уся початкова інфор¬мація повністю визначена. У стохастичних задачах використо¬вуєтьсявхідна інформація, яка містить елементи невизначеності, або деякі параметри набувають значень відповідно до визначених функцій розподілу випадкових величин.Як детерміновані, так і стохастичні задачі можуть бути статичними (однокроковими) або динамічними (багатокроковими).Багатокроковість як метод розв’язування задач математичного програмування зумовлюється, насамперед, багатовимірністю задачі й означає, що послідовно застосовуючи індукцію, крок за кроком знаходять оптимальні значення множини змінних, причому отриманий на кожному кроці розв’язок має задовольняти умови оптимальності попереднього розв’язку.Однокрокові задачі, навпаки, характеризуються тим, що всі компоненти оптимального плану задачі визначаються водночас на останньому кроці алгоритму.Задачі математичного програмування поділяють також на дискретні і неперервні. Дискретними називають задачі, в яких одна, кілька або всі змінні набувають лише дискретних значень. З-поміж них окремий тип становлять задачі, в яких одна або кіль¬ка змінних набувають цілочислових значень. Їх називають задачами цілочислового програмування. Якщо всі змінні можуть набувати будь-яких значень на деяких інтервалах числової осі, то задача є неперервною.Оскільки в економіко-математичних моделях залежності між показниками описані за допомогою функцій, то відповідно до їх виду всі вище згадані типи задач поділяють на лінійні та нелінійні.У нелінійному програмуванні (залежно від функцій, які використовуються в економіко-математичній моделі) виокремлюють опукле та квадратичне програмування. Задача належить до опуклого програмування у тому разі, коли цільова функція вгнута, якщо вона мінімізується, та опукла, якщо вона максимізується, а всі обмеження - однотипні нерівності типу (≤) або рівняння, в яких ліві частини є опуклими функціями, а праві частини - сталими величинами. Квадратичне програмування - якщо цільова функція квадратична, а обмеження лінійні. Як окремий тип розглядають дробово-лінійне програмування, коли обмеження є лінійними, а цільова функція - дробово-лінійна. Особливий тип становлять задачі теорії ігор, які широко застосовуються в ринковій економіці.

Для розв’язування задач лінійного програмування застосовують такі методи: графічний, симплексний метод, метод штучного базису, двоїстий симплексний метод. Транспортна задача розв’язується методами північно-західного кута, найменшого елемента та потенціалів. Для знаходження оптимальних планів задач цілочислового програмування застосовують такі групи методів: точні методи (методи відтинання (метод Гоморі); комбінаторні методи), наближені методи.Для розв’язування задач нелінійного програмування застосовують такі методи: градієнтний, графічний, метод множників Лагранжа.