6. Предмет і методи математичного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмуванням і побудова їх математичної моделі.

Зміст математичного програмування становлять теорія і методи розв'язання задач на знаходження екстремумів функцій на множинах, визначених системою обмежень. Задачі математичного програмування знаходять застосування у різних сферах діяльності людини, де потрібний вибір одного із можливих варіантів дій наприклад при розв'язанні проблеми управління, плануванні виробничих процесів, перспективному плануванні і т.д. Математичне програмування - це один із розділів науки про дослідження операцій, що знаходиться на межі наук і оперує як кількісними, так і якісними факторами. Предметом МП є розроблення методів розв’язування оптимізаційних задач та дослідження отриманого розв’язку. Найширше застосування в економіці знаходять такі методи:- лінійне програмування, що дозволяє сформулювати завдання оптимізації у вигляді лінійних обмежень і лінійної цільової функції;- динамічне програмування, розраховане на вирішення багатоступеневих завдань оптимізації;- цілочисельне програмування, яке дозволяє вирішити оптимізаційні завдання, в тому числі завдання оптимального розподілу ресурсів.Приклади економічних задач лінійного програмуванняЗадача визначення оптимального плану виробництва: максимум прибутку, максимум товарної продукції, мінімум витрат ресурсів.Задача про «дієту» (або про суміш) Необхідно знайти оптимальний раціон — кількість кожного виду продукту, що враховує вимоги забезпечення організму необхідною кількістю поживних речовин. Критерії оптимальності:мінімальна вартість раціону.Транспортна задача: Необхідно визначити оптимальні обсяги перевезень продукції, за яких були б найкраще враховані необхідності вивезення продукції від виробників та забезпечення вимог споживачів.мінімальна сумарна вартість перевезень, мінімальні сумарні витрати часу.Задача оптимального розподілу виробничих потужностей: Необхідно розподілити виробництво продукції між підприємствами у такий спосіб, щоб задовольнити потреби у виготовленні продукції та максимально використати виробничі потужності підприємств. мінімальні сумарні витрати на виготовлення продукції.Задача про призначення: Розв’язком задачі є оптимальний розподіл кандидатів на посади.Критерій оптимальності: максимальний сумарний ефект від виконання робіт.Задача комівояжера: Знайти оптимальний маршрут. мінімальна сумарна вартість (відстань) пересування по маршруту.Задача оптимального розподілу капіталовкладень. Необхідно визначити, як розподіляти кошти на початку кожного підперіоду між підприємствами так, щоб сумарний дохід за весь період був максимальним.

8. Допустимий та оптимальний розв'язки задачі лп, властивості розв'язків.

Допустимий розв’язок – це такий впорядкований набір чисел Хj = (Х1; Х2), який при підстановці в систему, кожну нерівність системи перетворює в правильну.Область допустимих розв’язків – це сукупність усіх допустимих розв’язків задачі.Оптимальний розв’язок – це такий допустимий розв’язок задачі який дає найбільше або найменше ( в залежності від умови задачі) значення цільової функції.Оптимальний роз’язок задач лінійного програмування завжди знаходиться на межі області допустимих розв’язків.Властивості розв’язків задачі лінійного програмування формулюються у вигляді чотирьох теорем (доведення теорем та їх наслідки наведено нижче).Властивість 1. (Теорема 2.2) Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.Властивість 2. (Теорема 2.3) Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин її багатогранника розв’язків. Якщо ж цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.Властивість 3. (Теорема 2.4) Якщо відомо, що система векторів A1, A2, …, Ak (k ≤ n) у розкладі A1x1 +A2x2 + … + Anxn = A0, X ≥ 0 лінійно незалежна і така, що

A1x1 + A2x2 + … + Akxk = A0,

де всі xj ≥ 0, то точка X = (x1, x2, …, xk, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків.

Властивість 4. (Теорема 2.5) Якщо X = (x1, x2, …, xn) — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі A1x1 + + A2x2 + … + Anxn = A0, X ≥ 0, що відповідають додатним xj, є лінійно незалежними.