3.4. Числовые характеристики случайных величин

Функции распределения описывают поведение непрерывных случайных величин. На практике все результаты являются дискретными величинами. В таких случаях для характеристики случайных величин используют числовые характеристики, которыми являются начальные и центральные моменты.

Начальный момент порядка l определяется по одной из формул:

а) ; б) ; в) . (3.13)

Формула (3.13.а) применима для непрерывных случайных величин, формулы (3.13.б) и (3.13.в) – для дискретных. Здесь – количество случайных величин (объем выборки); n_j – частота попадания в j- й класс (группу) число; k – количество классов, на которое разбит размах варьирования случайной величины. Формула (3.13.б) применяется для представления выборки в виде вариационного ряда, а формула (3.13.в) – в случае статистического ряда.

Наибольшее значение из начальных моментов имеет момент первого (l = 1) порядка, определяющий положение центра результатов:

а) ; б) ;

в) , (3.14)

который определяет или математическое ожидание в случае непрерывной величины х, или простое среднее значение в случае представления дискретной величины вариационным рядом, или взвешенное среднее значение – в случае представления статистическим рядом.

Центральный момент порядка l определяется для вариантов а, б и в так:

а) ; б) ;

в) . (3.15)

Наибольшее значение из центральных моментов имеет момент второго (l = 2) порядка, определяющий рассеяние результатов относительно центра; он называется дисперсией – генеральной, простой и взвешенной:

а) ; б) ;

в) . (3.16)

Здесь - одномоментная дисперсия. Значение дает оценку генеральной дисперсии , умноженной на : . Другими словами, смещена относительно на величину .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является другая выборочная дисперсия, а именно:

. (3.17)

Здесь b  ширина классов статистического ряда;  поправка Шеппарда; .

В качестве меры рассеяния случайной величины чаще используется среднее квадратичное отклонение:

; . (3.18)

Здесь - одномоментное среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

Для более подробного описания распределения случайной величины используют моменты более высоких порядков. Так, третий центральный момент служит для характеристики асимметрии, или скошенности распределения – он входит в коэффициент асимметрии:

. (3.19)

При симметричном распределении , при смещении моды вправо относительно центра распределения , при смещении влево (см. рис. 3.3).

Четвертый центральный момент служит для характеристики остроты вершины – он входит в показатель эксцесса:

(3.20)

Для нормального распределения , в случае тупой вершины , при острой вершине (см. рис. 3.4).

Рис. 3.3. Вид дифференциальной функции распределения при разных значениях коэффициента асимметрии.

Рис. 3.4. Вид дифференциальной функции распределения при разных значениях показателя эксцесса.