3.7. Погрешности и результаты прямых измерений

[1, c. 186-190]

Прямые измерения могут быть однократными и многократными.

Однократные измерения проводятся при выполнении следующих условий:

• модель объекта измерений построена на основе достаточно полной априорной информации и определение измеряемой величины не вызывает сомнений;

• метод измерения позволяет либо заранее устранить погрешности измерения, либо произвести их оценку;

• средства измерений исправны, а их метрологические характеристики соответствуют нормам;

• отсутствует возможность повторных измерений (например, происходит разрушение объекта измерений);

• имеет место экономическая целесообразность.

Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются:

• погрешности СИ;

• погрешности метода измерения;

• погрешность субъекта.

Погрешности СИ рассчитываются по их метрологическим характеристикам. Методические погрешности определяются на основе анализа метода измерения. За субъективную погрешность часто берут некоторую долю (0,1…0,5) цены деления прибора. Если сумма методической и субъективной погрешности не превышает 15% погрешности СИ, то за погрешность прямого однократного измерения принимается погрешность СИ.

При проведении измерений в нормальных условиях за погрешность однократного измерения берется основная погрешность СИ, определяемая по нормативно-технической документации. При отклонении условий измерения от нормальных к онсновной погрешность добавляется дополнительная погрешность.

Многократные измерения обычно проводятся в лабораторных условиях. Их результаты рассматриваются как случайные величины, а погрешности измерения (случайная составляющая) оцениваются на основе статистических методов, рассмотренных выше. Случайная погрешность при многократных измерениях включает в себя такие погрешности, как погрешность модели, погрешность метода измерения, субъективную погрешность.

Результирующая погрешность многократных измерений должна включать случайную и систематическую погрешности.

Результат прямых измерений записывается в виде:

, «ед. измер.»,  = 0,95. (3.26)

Здесь Х – буквенное обозначение измеряемой величины; - среднее значение измеренной величины; - абсолютная погрешность среднего значения ; «ед. измер.» - единицы измерения измеренной величины;  - доверительная вероятность, принимаемая равной, чаще всего, 0,95 или 95%.

3.8. Погрешности косвенных измерений [1, c. 190-199]

Косвенные измерения – это измерения, при которых искомое значение Y находится по математической зависимости

, (3.27)

где - j-я величина, определенная путем прямых измерений ; m – число величин, найденных путем прямых измерений.

Функциональные зависимости могут быть линейными и нелинейными.

Погрешности косвенных измерений при линейной зависимости

, (3.28)

где - коэффициенты j-го аргумента , найденные с помощью модели (аналитической или регрессионной) объекта измерения путем обработки многократных прямых измерений, например, с помощью метода наименьших квадратов.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами среднее квадратичное отклонение результата косвенного измерения, обусловленное случайными погрешностями, вычисляется так:

, (3.29)

где - значение косвенного измерения при средних значениях аргументов .

При наличии корреляционной связи между аргументами среднее квадратичное отклонение результата косвенного измерения определяется так:

, (3.30)

где - коэффициент корреляции между погрешностями аргументов и :

; и - результаты i-го прямого измерения аргументов и ; n – число прямых измерений аргументов.

Доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения определяется по формуле:

, (3.31)

где - квантиль нормального распределения на принятом уровне значимости р при большом числе измерений (более 25…30), или квантиль распределения Стьюдента при меньшем количестве измерений и числом степеней свободы, определяемом по формуле:

;

- число измерений при определении аргумента .

Погрешность косвенных измерений при нелинейной зависимости между искомой величиной и аргументами вычисляется по формуле, которая выводится по следующей методике:

1. Обе части выражения (3.27) логарифмируют.

2. Полученное выражение дифференцируют.

3. Дифференциалы (бесконечно малые приращения) величин заменяют на конечные приращения (абсолютные ошибки).

4. Знаки “- “ в числителях заменяют на “+” – получаем формулу для предельной относительной погрешности косвенного измерения ( = 0,997).

Пример: Определить погрешность измерения плотности тела массой т = 0,548 0,004 кг и объемом V = 70,2 0,3 = (70,2 0,3) м³. Записать результат измерения.

Выводим формулу для погрешности косвенного измерения плотности :

1. ln( = ln(m) – ln(V).

2. ddm/m – dV/V.

3. m/m -V/V.

4. m/m +V/V.

5. .Находим среднее значение плотности:

=0,548/(70,2 ) = 7806,267 кг/м³.

6. Находим относительную погрешность плотности:

0,004/0,548 + 0,3/70,2 = 0,01157.

7. Определяем абсолютную ошибку

 = · = 7806,267·0,01157 = 90,3185 кг/м³.

8. Записываем результат измерения:

 = 7800 ± 90 кг/м³,  = 0,997.

3.9. Правила округления результатов измерений [1, c. 125-126]