5.4.3. Проверка линейности

Проверку линейности модели можно выполнить двумя способами.

5.4.3.1. График остатков по экспериментальным значениям у

Удобным методом проверки линейности модели служит график остатков по экспериментальным значениям У. Если предположения о линейности и однородности дисперсий выполнены, зависимость между У и остатками должна отсутствовать, любая же неслучайная тенденция в расположении точек на графике свидетельствует о нелинейности модели.

Если условие линейности выполняется, то остатки были бы случайным образом разбросаны вокруг горизонтальной прямой, проходящей через 0.

5.4.3.3. График остатков по независимой переменной

Можно также исследовать графики, по одной оси которых располагаются отдельные независимые переменные Х, по другой – остатки У. Для этого нужно сохранить их в процедуре Linear Regression (Линейная регрессия), а затем вызвать раздел Scatter в меню Graphs. И снова, если соответствующие условия выполнены, вы увидите горизонтальную полосу остатков.

Оба типа графика позволяют проверить предположение о линейности, однородности и независимости ошибок и локализировать выбросы. Появление заметной закономерности в распределении остатков является индикатором определенной неадекватности модели экспериментальным данным.

5.4.4. Однородность дисперсий

Ранее описанные диаграммы можно использовать и для проверки предположения о равенстве дисперсий. Если разброс остатков увеличивается или уменьшается в зависимости от значений независимых переменных Х или значений У, то предположение о постоянстве дисперсии У для всех значений Х становится необоснованным.

5.4.5. Независимость ошибок

Если данные собирались и записывались последовательно (например, во времени), всегда необходимо вывести на график остатки по переменной, отражающей такую последовательность. Даже тогда, когда время не включено в рассматриваемую модель, оно может оказывать влияние на остатки. Если последовательность следования исходных данных и остатки будут независимы, мы не увидим на графике различимого криволинейного тренда.

Кроме графика при построения модели вычисляется статистика критерия Дурбина-Уотсона, формулой которой для сериальной корреляции остатков имеет вид:

Значение этой статистики меняется от 0 до 4. Если остатки взаимно не коррелированны, значение d близко к 2.

Вычисленное значение критерия сравнивают с табличным:

• если d<d_L, то делается вывод о наличии в остатках автокорреляции. В этом случае необходима корректировка модели путем введения в нее дополнительного члена, учитывающего автокорреляцию;

• если d>d_U, то ряд не содержит автокорреляции;

• если dL<d>dU, то необходимы дальнейшие исследования;

где d_L и d_U – нижняя и верхняя граница критерия (берется из таблиц).

5.4.6. Нормальность остатков

Причинами ненормальности остатков могут послужить неверное задание параметров модели, непостоянная дисперсия (неоднородность дисперсии), небольшое число доступных для анализа остатков и т.д. Следовательно, необходимо изучать этот вопрос одновременно при помощи разных методов.

5.4.6.1. Построение гистограммы остатков

Одним из простейших способов проверки будет построение гистограммы остатков, такой, как изображена на рисунке 5-24.

Н а гистограмму наблюденных частот (обозначенных столбиками) наложена нормальная кривая. При зрительной оценке, условие нормальности оценить затруднительно и поэтому его следует проверить на непротиворечие по соответствующим критериям (например, Смирнова-Колмогорова, Шапиро – Уиллса и др.).