Прямая геодезическая задача на плоскости

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты.

Дано: А исходный пункт с известными координатами Х_А, У_А . α_АР – дирекционный угол.

Р определяемый пункт; Х_Р = ? У_Р = ?

; (1)

Обратная геодезическая задача на плоскости

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 .

         (2)

       

              (3)

Проложение и обработка теодолитных ходов на местности.

В теодолитных ходах горизонтальные углы измеряют с ошибкой не более 30"; относительная ошибка измерения расстояний m_S/S колеблется от 1/1000 до 1/3000.

Схема разомкнутого теодолитного хода, опирающегося на 2 исх п-та

Дано: Х_А, У_А , α_ВА= α_Н , Х_С, У_С , α_СD= α_К

Измерены: углы поворота β₁, β₂ , β₃ ….. β_n-1, β_n (в данном случае левые по ходу, м.б. правые), c ошибкой m_β

Стороны S₁, S₂ , S₃ ……S_n-1 с относительной ошибкой измерения расстояний m_S / S = 1 / T

Требуется определить координаты пунктов 2,3, ……n-1 т.е Х₂, У₂ Х₃, У_{3 ……} Х_n-1, У_n-1 --???

Вычисление координат пунктов разомкнутого теодолитного хода, опирающегося на 2 исх. Пункта

n - общее количество пунктов в ходе; количество неизвестных будет 2 * ( n - 2 ) (т.к. число определяемых пунктов ( n - 2 ));

необходимое число измерений = 2 * ( n - 2 )

Число измерений в разомкнутом теодолитном ходе = ( 2 * n - 1 ) ( n углов - по одному на каждом пункте, ( n - 1 ) сторон хода).

Число избыточных измерений = 3 (разность между количеством выполненных измерений и количеством необходимых измерений):

    (4)          

В геодезических построениях каждое избыточное измерение порождает какое-либо условие, поэтому количество условий равно количеству избыточных измерений; в разомкнутом теодолитном ходе, опирающемся на 2 исх. пункта, должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.

Условие дирекционных углов.

               (5)

(6)

Это - математическая запись первого геометрического условия в разомкнутом теодолитном (линейно-угловом) ходе.

Для правых углов поворота оно запишется так:

                (7)

(6) и (7) -теоретическая сумма углов хода.

(8)

(Для левых углов):

(9)

(Для правых углов):

(10)

(11)

               

   (12)                 

               

               

                        (13)

Тогда

                  (14)

Для теодолитных ходов m_β = 30", поэтому:

                    (15)

Распределим угловую невязку путем введения поправок в измеренные углы с целью приведения их в соответствие с геометрическими условиями. Обозначим поправку в измеренный угол V_β и запишем условие:

откуда следует, что:

                (14)

то-есть, поправки в углы следует выбрать так, чтобы их сумма была равна угловой невязке с противоположным знаком.

                   (15)

Исправленные значения углов вычисляются по формуле:

                    (16)

По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем правильности обработки угловых измерений.

Координатные условия. Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода ΔXi и ΔYi. Координаты пунктов хода получим по формулам :

                  (17)

Сложим эти равенства и получим для приращений ΔXi:

После приведения подобных имеем:

или

                (18)

Аналогичная формула для суммы приращений ΔY имеет вид:

                  (19)

(18) и (19) – теоретические суммы приращений координат.

Вследствие ошибок измерения сторон и упрощенного способа распределения угловой невязки возникают так называемые координатные невязки хода:

(20)

(21)

                

по которым вычисляют абсолютную невязку хода:

                  (22)

и затем относительную невязку хода:

                   (23)