Параметричне означення

Коло на площині, даного радіуса , у певній вибраній декартовій системі координат і , описується системою рівнянь:

де параметр — пробігає значення від до . З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (x, y). Якщо записати x та y через параметр t, отримаєм:

Полярні координати

Рівняння кола в полярних координатах:

де a – радіус кола, r₀ - відстань від початку координат до центру кола та φ – кут відкладений проти годинникової стрілки від додатньої осі x до лінії що з’єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r₀ = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r₀ = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуєм рівняння:

.

В загальному випадку, рівняння можна розв’язати для r:

,

Розвязок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Комплексна площина

Рівняння кола на комплексній площині:

або в параметричному вигляді

Означення Аполлонія

Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками

Властивості

• Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і притому тільки одне.

• Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.

• Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.

• Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.

  • Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.

  • Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90°.

• Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.

• Кут між хордами, що перетинаються дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті і дуги навпроти неї.

• Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.

• Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.

• При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків на які ділиться інша.

• Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступені точки відносно кола.

  • Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

Довжина кола і площа круга

Довжину дуги кола з радіусом , утвореного центральним кутом , виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою

.

Довжину кола з радіусом можна обчислити за формулою

,

де — число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.

Площа обмеженого колом круга дорівнює

,

де — діаметр.

Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру кола: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрату з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцедентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеманн.