Криві другого порядку

Лінії другого порядку — геометричне місце точок на площині, декартові координати яких задаються рівнянням другого степеня:^[1]

де хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля.

Лінії другого порядку є конічними перерізами.

Інваріанти

Вид кривої залежить від чотирьох інваріантів:

• інваріанти відносно повороту та зсуву системи координат:

  • 

  • 

  • 

• інваріант відносно повороту системи координат (напів-інваріант):

  • 

Основні типи

Основними лініями другого порядку є коло, еліпс, гіпербола і парабола:^[1]

Вид кривої	Канонічне рівняння	Інваріанти
Невироджені криві ( )
еліпс
гіпербола
парабола

Історія та застосування

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.

Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі або параболі — комети. Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі.

Коло

Ко́ло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.

Коло з центром у точці О і радіусом r позначають О(r).

Інструментом для побудови кола є циркуль — один із основних інструментів геометрії.

КолоТермінологія

Внутрішню частину кола, тобто геометричне місце точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.

Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд, діаметр, проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.

Пряма може не мати з колом спільних точок, мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).

Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.

Хорда, січна, дотична, діаметр.

Дуга, сектор та сегмент

Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.

Означення кола Алгебраїчне означення

Коло радіуса r = 1, з центром (a, b) = (1.2, -0.5)

Коло на площині, даного радіуса , у певній вибраній декартовій системі координат і , з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням:

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

Загальне рівняння кола:

Якщо відомі координати трьох точок на площині і , то рівняння кола, яке проходить через ці точки можна записати через визначник: