Розрахунок перехідних характеристик та оцінка якості імпульсних систем

Мета заняття: Навчитися проводити розрахунок перехідних характеристик імпульсних систем та оцінювати параметри їх якості.

Показники якості дискретної системи найпростіше визначаються за кривою перехідного процесу, викликаного|спричиняти| одиничною|поодинокою| ступінчастою|східчастою| дією, яка в z-зображенні має вигляд:

Зображення перехідної функції буде

Дискретні значення перехідного процесу можуть бути знайдені шляхом розкладання зображення H(z) в ряд Лорана, яке реалізується простим діленням чисельника зображення перехідної функції на її знаменник. Після ділення отримаємо

(6.1)

З іншого боку, за визначенням Z – перетворення

(6.2)

Порівнюючи (6.1) з (6.2), можна зробити висновок, що коефіцієнти розкладання С_i дорівнюють дискретним значенням h(iT) перехідної функції.

Задача 1. Передаточна функція замкнутої системи задана виразом

Вважаючи, що Т=0.1, побудувати перехідну функцію. Для зображення перехідної функції отримаємо|одержуватимемо|

Розділимо чисельник на знаменник

Відклавши на графіку ординати дискретних значень і з'єднавши їх плавною кривою, отримаємо|одержуватимемо| перехідну функцію системи (рис.6.1).

Продовживши обчислення|підрахунки| далі, можна визначити всі показники якості, але|та| вже і так ясно, що перехідний процес незадовільний, оскільки перерегулювання перевищує 60%, що є|з'являється| наслідком малих запасів стійкості.

По аналогії з безперервними системами точність дискретних САУ в усталеному режимі можна оцінювати за допомогою коефіцієнтів помилок. У загальному|спільному| випадку коефіцієнти помилок дискретної системи визначаються виразом|виразом|

(6.3)

Рис.6.1. Перехідна функція системи

Для обчислення практично використовуваних коефіцієнтів К₀ , К_{1 ,} К₂ виведені формули

(6.4)

Введенням в передаточну функцію прямого кола ланки що відповідає введенню інтеграла, системі можна надати астатизму. Передаточна функція розімкненої системи в цьому випадку має вигляд

. (8.18)

Тут  - порядок астатизму. Передаточна функція замкнутої системи за помилкою буде рівна

(8.19)

Очевидно, що при  = 1, коефіцієнт помилки по положенню К₀ = 0. При астатизмі другого порядку ( = 2) отримаємо, що что К₀ = 0, К₁ = 0 і так далі.

Задача 2.

Передаточна функція розімкнутої системи регулювання з ЕОМ має вигляд:

Знайти умову стійкості замкнутої системи та побудувати перехідну характеристику при подачі на вхід системи одиничної ступінчастої функції для , , .

Розв’язок. Передаточна функція замкнутої системи

.

Для визначення умови стійкості скористаємося алгебраїчним критерієм стійкості. Розглянемо характеристичне рівняння замкнутої системи

Умова стійкості .

Перейдемо до побудови перехідних процесів шляхом розкладу зображень вхідної величини в ряд Лорана.

Розглянемо випадок . При цьому передаточна функція замкнутої системи буде рівна

.

Зображення вхідної величини:

.

Зображення вихідної величини

.

Розкладемо останній вираз в ряд Лорана шляхом ділення чисельника на знаменник:

Це дає наступні значення функції на виході в дискретні моменти часу: при ; при ; при ; при і далі при всіх значеннях . Графік цієї функції зображено на рисунку (крива 1):

Між дискретними значеннями функції часу на виході проведено прямі лінії, оскільки передаточна функція відповідає індивідуальній інтегруючій ланці, перехідна функція якої являє собою пряму лінію.

Аналогічним чином отримано ряд Лорана для :

Графік перехідної функції зображено на рисунку (крива 2)ю

Для випадка отримаєм

Графік перехідної функції для цього випадка зображено на рисунку (крива 3).

Ще один метод розрахунку перехідної функції базується на формулі розкладу, яка визначається наступним чином: якщо всі полюси функції (тобто корені рівняння ) прості і не рівні нулю, то

,

де

Початкові значення: при і при .

Задача 3

Визначити перехідну функцію , якщо зображення має вигляд:

Розв’язок. В даному випадку і . Похідна існує і має вигляд: , полюсами є і . А отже матимемо:

Початкове значення , так як степінь чисельника менше степеня знаменника.

Завдання для самостійного виконання.

1.Визначити перехідну функцію за її зображенням:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2. Визначити перехідну функцію дискретної системи, у якої передаточна функція має наступний вигляд:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Практичне заняття №7.