3. Теория корреляции

В спорте, в спортивной команде и в организме спортсмена существует много взаимосвязей между различными признаками. Например, с увеличением количества занимающихся в каком-либо виде спорта, повышаются результаты; осложнения во взаимоотношениях между игроками одной команды ухудшает ее результативность; с повышением интенсивности нагрузки у спортсмена повышается пульс, увеличивается скорость кровопотока в работающих мышцах, уменьшаются в них энергетические ресурсы, и т.д.

Существуют два вида связи между переменными X и Y.

Функциональная , при которой каждому значению X соответствует единственное значение Y.

Статистическая, при которой на формирование переменных Y и X оказывают влияние различные факторы. При этом среди факторов есть такие, которые одновременно влияют на переменную X и на переменную Y. В этом случае одному значению переменной X могут соответствовать несколько значений переменной Y.

Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость. В этом случае каждому значению X соответствует единственное значение среднего переменной Y: или .

Последние уравнения называются уравнениями регрессии. Теория корреляции ставит перед собой две задачи. Первая – установить форму корреляционной зависимости, то есть определить конкретный вид функций и . Вторая – определить силу или тесноту корреляционной связи.

Решение первой задачи начинается с построения корреляционного поля – графика, на котором в виде точек показаны пары значений Y и X, полученные в результате эксперимента.

Корреляционное поле может выглядеть так, как показано на рисунках 3.1; 3.2; 3.3.

Рис. 3.1 Корреляционное поле	Рис. 3.2 Корреляционное поле
Рис. 3.3 Корреляционное поле

Если установлено, что между переменными Y и X имеет место линейная зависимость, то уравнение регрессии можно записать в виде:

, (3.1)

. (3.2)

В формулах 3.1, 3.2 x_i, y_i ‑ пары экспериментальных значений переменных Y и X; , ‑ средние значения X и Y соответственно.

Прямые, построенные по уравнениям 3.1 и 3.2, пересекаются в точке .

Вопрос о силе или тесноте линейной корреляционной связи решается с помощью коэффициента корреляции Пирсона r_xy и рангового коэффициента Спирмена r_s. Первому из них отдается предпочтение в случае, если известно, что выборочные экспериментальные данные подчинены нормальному закону распределения. Оба коэффициента изменяются в пределах от до . Чем ближе коэффициенты по модулю к единице, тем более сильной является линейная зависимость. Принято считать, что, если указанные коэффициенты по модулю меньше (0,3), то линейная связь между переменными X и Y весьма слаба. Однако, заметим, близость коэффициентов к нулю указывает лишь на отсутствие линейной связи. Может случится, что связь существует, но носит, например, нелинейный характер.

Величины коэффициентов корреляции вычисляются по формулам:

, (3.1)

, (3.2)

где dx_i, dy_i ‑ ранги переменных X и Y; n ‑ объем выборки.

Приведем пример вычисления рангового коэффициента корреляции r_s. Основные вычисления сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

xi	№x	dxi	yi	№y	dyi
702	1	1	9,1	1	1	0	0
730	2	2	9,6	2	2	0	0
790	3	3	9,8	3	3	0	0
795	4	4	10,1	4	4	0	0
802	5	5	10,5	6	6,5	‑ 1,5	2,25
820	6	6	10,5	7	6,5	‑ 0,5	0,25
821	7	7	10,3	5	5	2	4,0
890	8	8	10,7	8	8	0	0
-	∑	-	-	-	-	0	6,5

.

Так как , близок к 1, заключаем, что переменные X и Y имеют сильную линейную взаимосвязь.

Замечание. В таблице 3.1 в столбце все значения y_i пронумерованы в порядке возрастания. На основании этой нумерации и определялись ранги переменной Y.

Как правило, достоверность найденных коэффициентов корреляции (существенность их отличия от нуля) проверяют с привлечением специальных таблиц (приложение 5).

Схема проверки следующая. Найденные коэффициенты сравниваются с критическими значениями из таблиц для трех уровней доверительной вероятности γ=0,95; 0,99; 0,999. Если найденный коэффициент оказывается больше наименьшего табличного, следует вывод о том, что коэффициент корреляции достоверен; если коэффициент оказывается меньше наименьшего табличного, то достоверность найденного коэффициент подвергается сомнению.