- •1. Первичная обработка результатов спортивного тестирования.
- •Определение доверительного интервала для оценки генерального среднего
- •Лабораторная работа №1
- •Пример выполнения лабораторной работы №1.
- •2. Сравнение средних по критерию Стьюдента
- •Лабораторная работа №2
- •Пример выполнения лабораторной работы №2
- •3. Теория корреляции
- •Лабораторная работа №3
- •Пример выполнения лабораторной работы №3
- •4. Дисперсионный анализ
- •Лабораторная работа №4
- •Пример выполнения лабораторной работы №4
1. Первичная обработка результатов спортивного тестирования.
В подавляющем большинстве случаев при анализе результатов соревнований, оценке эффективности тренировочного процесса, текущем контроле психофизиологического состояния спортсменов, приходится сталкиваться с необходимостью обработки числовых данных. Эти массивы данных принято обобщать в виде вариационных рядов, которые представляют собой таблицы, содержащие сведения о величинах xi изучаемого признака и их частоты ni (количество повторений). Если данных не слишком много (до ста) и они незначительно отличаются друг от друга, составляют дискретные вариационные ряды.
Например:
Таблица 1.1
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
∑ |
xi |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
‑ |
ni |
5 |
10 |
15 |
20 |
10 |
|
В таблице 1.1 обозначено ‑ объем совокупности.
Если данных значительное количество (несколько сотен) и они существенно отличаются друг от друга, строят непрерывные вариационные ряды.
Например:
Таблица 1.2
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
∑ |
|
20…40 |
40…60 |
60…80 |
80…100 |
100…120 |
120…140 |
‑ |
ni |
30 |
50 |
20 |
60 |
30 |
10 |
|
При составлении такого ряда находят наименьшее xmin и наибольшее xmax значение. Затем определяют длину интервала по формуле:
, (1.1)
где l ‑ количество интервалов, определяемое по формуле:
. (1.2)
В формуле (1.2) n ‑ объем совокупности.
При подсчете частот пользуются условием
, (1.3)
то есть, левая граница включается в соответствующий интервал, а правая – нет.
Для большей наглядности вариационные ряды принято представлять в виде графиков: полигонов и гистограмм.
Для дискретного вариационного ряда (таблица 1.1) полигон и гистограмма показана на рис. 1.1 и рис. 1.2 соответственно.
|
|
Рис. 1.1. Полигон частот. |
Рис. 1.2. Гистограмма частот. |
Для непрерывного вариационного ряда (таблица 1.2) полигон и гистограмма показана на рис. 1.3 и рис. 1.4 соответственно.
|
Рис. 1.3. Полигон частот. |
|
Рис. 1.4. Гистограмма частот. |
Отметим, что гистограмма имеет два важных свойства. Площадь каждого прямоугольника на гистограмме численно равна частоте соответствующего значения xi или диапазона . Сумма площадей всех прямоугольников численно равна объему совокупности n.
Для анализа данных, представленных вариационными рядами, а также для их сравнения, используются числовые характеристики, основные из которых: мода, медиана, среднее значение, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации. Опишем эти характеристики.
Мода Mo ‑ значение вариационного ряда, встречающееся с наибольшей частотой. Для дискретного вариационного ряда (таблица 1.1) ; для непрерывного вариационного ряда (таблица 1.2) (середина модального интервала ).
Медиана Me ‑ значение вариационного ряда, делящее его на две равные по количеству значений части.
Для дискретного ряда ; для непрерывного ряда . Более точное определение моды и медианы непрерывного ряда см., например, [1], [2].
Среднее значение ‑ значение вариационного ряда, принимаемое в среднем при испытаниях. Вычисление среднего значения производится по формуле:
. (1.4)
Дисперсия ‑ число, определяющее насколько далеко или близко от середины, располагаются в среднем все значения вариационного ряда и вычисляется по формуле:
(1.5)
или
. (1.6)
Заметим, что при вычислении и для непрерывного ряда роль xi выполняет середина интервала:
.
Стандартное отклонение ‑ числовая характеристика, определяющая, как и дисперсия, степень разброса данных, но имеющая размерность изучаемой величины x.
Коэффициент вариации V ‑ числовая характеристика, определяемая по формуле:
. (1.7)
Принято считать, что если , то вариационный ряд является компактным, то есть степень разброса невелика.
В заключение приведем формулы, упрощающие вычисление среднего значения и дисперсии для непрерывного вариационного ряда:
, (1.8)
. (1.9)
В формулах (1.8) и (1.9) n ‑ объем совокупности, h ‑ длина интервала, xi ‑ середина интервала, c ‑ условный нуль. В качестве параметра «c» обычно выбирают значение, близкое к моде.