II уровень

2.1. Стороны треугольника, равные 5 см, 5 см и 6 см, касаются шара, радиус которого 2,5 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

2.2. На поверхности шара даны три точки. Расстояния между ними равны по 7 см. Радиус шара равен 7 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через данные три точки.

2.3. Радиусы оснований шарового слоя равны 63 см и 39 см, его высота – 36 см. Найдите радиус шара.

2.4. Дан шар радиуса 12 см. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая поверхность касается шара, вторая – под углом 60 к радиусу, проведенному в точку касания. Найдите площадь сечения.

2.5. Определите, какую площадь имеет часть поверхности шара, которая видна наблюдателю, находящемуся на расстоянии 10 м от него, если радиус воздушного шара равен 15 м.

2.6. Шар пересечен двумя плоскостями, проходящими через одну точку поверхности шара и образующими угол 60. Радиус шара равен 4 см. Найдите площади поверхностей отсекаемых сегментов, если окружности их оснований имеют равные радиусы.

2.7. Шар касается граней двугранного угла в 120. Расстояние от центра шара до ребра угла равно 10 см. Найдите площадь поверхности шара.

2.8. Из шара вырезали шаровой слой, толщина которого равна 9 см, площади оснований – 400 см² и 49 см². Найдите объемы оставшихся шаровых сегментов.

2.9. Диаметр шара разделен на четыре равные части и через точки деления проведены секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объемы полученных частей шара, если его радиус равен R.

2.10. В шаре радиуса R просверлено цилиндрическое отверстие. Ось цилиндра проходит через центр шара, диаметр отверстия равен радиусу шара. Найдите объем оставшейся части шара.

III уровень

3.1. Плоскости двух сечений шара взаимно перпендикулярны. Одна из этих плоскостей проходит через центр шара, другая – удалена от него на 12. Общая хорда сечений равна 18. Найдите сумму площадей этих сечений.

3.2. Радиус шара равен 15 м. Вне шара дана точка А на расстоянии 10 м от его поверхности. Найдите радиус такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстоят от точки А на 20 м.

3.3. Из точки, взятой на поверхности шара, проведены три равные хорды, угол между каждой парой которых равен . Найдите длину хорды, если радиус шара равен R.

3.4. Два шара внутренне касаются в точке А, АВ – диаметр большего из шаров, ВС – касательная к меньшему из них. Найдите радиусы шаров, если ВС = 20 см, а разность площадей поверхностей шаров равна 700 см².

3.5. Вычислите объем шара, радиус которого равняется ребру октаэдра, имеющего поверхность площадью

3.6. Круговой сектор с углом 60 и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела вращения.

.

КОМБИНАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ.

.

Сфера, описанная около многогранника

или тела вращения

.

I уровень

1.1. В правильную четырехугольную пирамиду с объемом вписан конус. Найдите его объем.

1.2. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом , вписана пирамида. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найдите объем пирамиды, если

1.3. Около цилиндра описана правильная четырехугольная призма, периметр основания которой равен 12 см, а площадь боковой поверхности равна 48 см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

1.4. В равносторонний цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна вписана правильная шестиугольная призма. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

1.5. Усеченный конус описан около правильной треугольной усеченной пирамиды. Радиус верхнего основания в 2 раза меньше радиуса нижнего основания конуса, высота равна 4 см, а образующая – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

1.6. В куб вписан шар и около куба описан шар. Найдите отношение объемов этих шаров.

1.7. В сферу вписан цилиндр. Площадь основания цилиндра равна 16 см², тангенс угла наклона диагонали его осевого сечения к плоскости основания равен 3. Найдите площадь сферы.

1.8. В конус, площадь боковой поверхности которого в 2 раза больше площади основания, вписан шар. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 8 см.

1.9. В цилиндрическую мензурку, диаметр которой 2,5 см, заполненную водой до некоторого уровня, опускают четыре равных металлических шарика диаметром 1 см. Определите, на сколько изменится уровень воды в мензурке.

1.10. Основания шарового слоя и цилиндра совпадают. Объем тела, заключенного между их боковыми поверхностями, равен 36 см³. Найдите высоту шарового слоя.