III уровень
3.1. Радиус основания конуса равен R, образующая наклонена к плоскости основания под углом . В конусе через вершину под углом к его высоте проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.
3.2. Площади оснований усеченного конуса равны 81 см2 и 225 см2, образующая относится к высоте как 5 : 4. Найдите площадь осевого сечения.
3.3. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно перпендикулярны. Площадь осевого сечения равна 324 см2. Найдите площади оснований конуса, зная, что радиус одного основания на 2 см больше другого.
3.4. Дана трапеция ABCD, у которой AD = 15 см, BC = 9 см, AB = CD = 5 см. Трапеция вращается вокруг оси, проходящей через вершину A и перпендикулярно AD. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.
3.5. Прямая отсекает от сторон прямоугольного треугольника, угол между которыми 60, отрезки, длины которых составляют четвертую часть длины гипотенузы, считая от вершины этого угла. Найдите отношение площади треугольника к площади поверхности тела, полученного при вращении этого треугольника вокруг прямой.
3.6. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна h, образующая – b. Найдите площадь поверхности, описываемой высотой конуса.
3.7. Два конуса имеют общее основание. В общем осевом сечении образующая одного из конусов перпендикулярна противолежащей образующей другого. Объем одного из них вдвое меньше объема другого. Найдите угол между образующей большего конуса и плоскостью оснований конусов.
3.8. Треугольник АВС, у которого АВ = 13 см, ВС = 20 см, АС = 21 см, вращается вокруг оси, проходящей через вершину А перпендикулярно АС. Найдите объем полученного тела вращения.
3.9. Параллелограмм вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно большей диагонали. Найдите объем тела вращения, если стороны параллелограмма и его большая диагональ равны соответственно 15 см, 37 см и 44 см.
3.10. Образующая усеченного конуса, равная l, наклонена к плоскости основания под углом . Отношение площадей оснований конуса равно 4. Найдите объем усеченного конуса.
Шар.
.
I уровень
1.1. В шаре на расстоянии 9 см от центра проведено сечение, площадь которого равна 144 см2. Найдите радиус шара.
1.2. Два равных шара радиусом R = 17 см, взаимно пересекаясь, образуют двояковыпуклую линзу. Найдите ее диаметр, если расстояние между центрами шаров равно R.
1.3. Найдите высоту шарового сегмента, если радиус его основания равен 15 см, а радиус шара – 25 см.
1.4. Шар, радиус которого 15 см, пересечен плоскостью на расстоянии 9 см от центра. Найдите площадь сферической части шарового сегмента.
1.5. Найдите площадь сферы, диаметр которой равен диагонали куба с ребром, равным 2 см.
1.6. Определите, во сколько раз объем Земли больше объема Луны. (Диаметр Земли следует принять за 13 тыс. км, диаметр Луны – 3,5 тыс. км.)
1.7. Объем стенок полого шара равен 876 см3, а толщина стенок – 3 см. Найдите радиусы наружной и внутренней поверхностей шара.
1.8. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 10 см, а радиус основания соответствующего шарового сегмента – 6 см.
1.9. Объем одного шара в 8 раз больше объема другого шара. Определите, во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго.