2.5. Оценка статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии

Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

t-cтатистика вычисляется по формуле:

,

где - стандартная ошибка коэффициента b_j, которая вычисляется по формуле:

=0,6731;

=48,294;

=-0,1139.

Табличное значение t-критерия при 5 % уровне значимости и степенях свободы (15-2-1)=12 составляет 2,179.

t _0,2 < t_табл значит , коэффициенты b_0, b₂ не являются статистически значимыми.

t₁> t_табл, следовательно, коэффициент b₁ является статистически значимым.

2.6. Проверка выполнения условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов

Математическое ожидание случайной компоненты равно 0:

Проверяем с помощью t-статистики.

=0

где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков Е_i.

Среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитывается по следующей формуле малой выборки:

= =7,18

Среднее арифметическое значение уровней ряда:

= 0

Дисперсия должна быть постоянной: . (С помощью F-статистики). В данном случае производим проверку гипотезы Н₀ об уменьшении дисперсии. Для этого строим F-cтатистику, для которой рассчитывается по формуле:

=91,305/527,36=0,173135

F^таб=3,87

Если F_расч < F_таб , то гипотезу об уменьшении дисперсии принимаем с вероятностью 95%.

Ковариация должна быть равна 0: . Выдвигаем гипотезу об отсутствии автокорреляции. Выполнение этого условия можно проверить с помощью критерия Дарвина-Уотсона, в основе которой лежит расчетная формула:

=0,96; d^расч=588,278/618,66=0,965

=1,54.

Выводы делаем на основе табличных данных из следующих правил:

1. - ряд остатков не коррелирован;

2. - остатки содержат автокорреляцию;

3. - область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции;

4. - отрицательная корреляция.

Вывод: т.к. - нет оснований ни принять, ни опровергнуть гипотезу.

Итак, можно сделать вывод, что условия «хороших оценок» выполняются для данной модели.

Рассчитаем также среднюю относительную ошибку Е :

Е =

Е = 1/15*(0,001)*100%=0,006%

Если Е меньше 15%, то модель построена на высоком уровне точности. Следовательно, наша модель построена на высоком уровне точности.

2.7. Построение точечного и интервального прогноза

Для построения интервального прогноза вычислим x, 2 x.

x=

x ¹=508,5/14=36,32

x ²=25,06/14=1,79

для x: =810,20+36,32=846,53

=131,13+1,79=132,92

для x: =810,20+2*36,32=882,85

=131,13+2*1,79=134,70

=31,3374+1,104648*846,53-0,05367*132,92=959,3199

=31,3374+1,104648*882,85-0,05367*134,70=999,34

0,693829*7,18*11,05=55,02

0,693829*7,18*11,51=57,32

=7,18

Таблица 6. Расчетные данные точечного и интервального прогноза

Рис. 1. Интервальный и точечный прогноз многофакторного регрессионного уравнения

Вывод

Результатом данной работы стало построение модели зависимости объема выпуска продукции (Y, млрд. руб.), от оборота капитала (X₁, млрд. руб.), численности сотрудников (X₂, тыс. чел.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования (X₃, млрд. руб.) Построенная нами модель дала полную характеристику этой зависимости.

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показал, что на зависимую переменную, т.е. на объем выпуска продукции больше влияют оборот капитала (x₁), и численность сотрудников (x₂). Для построения двухфакторной регрессионной модели выбирали Х₁ и Х₂.

Уравнение регрессии зависимости оборотом капитала, численностью сотрудников и объемом выпускаемой продукции можно выразить в следующем виде:

Y=31,3374+1,104648Х₁-0,05367Х₂

В ходе выполнения работы были выдвинуты следующие гипотезы:

• Гипотеза об отсутствии линейной связи. Было найдено значение F-статистики, по результатам сравнения найденного значения с табличным она была отвергнута с вероятностью с вероятностью 95% .

• Гипотеза о несущественном влиянии х на у. В результате расчетов она гипотеза была опровергнута с вероятностью 95%. Коэффициент b₁ является статистически значимым.

Для проверки «хороших свойств» коэффициентов регрессии были проверены следующие условия:

1.М( )=0. Условие выполняется.

2. D( )=const - о постоянстве дисперсии. Проверка показала, что гипотезу об уменьшении дисперсии принимаем с вероятностью 95%.

3. Cov( =0 – об отсутствии автокорреляции. Вычисленные данные и сравнение показали, нет оснований ни принять, ни опровергнуть гипотезу.

Итак, можно сделать вывод, что условия «хороших оценок» выполняются для данной модели.

Далее вычислили интервальный и точечный прогноз многофакторной модели на 2 шага. Для этого вычислили x, 2 x. x ¹==36,32; x ²==1,79. И по дальнейшим расчетам установили, что =959,31; =999,34.