Усталений процес нагрівання струмопроводів електричних апаратів

Процес нагрівання можна вважати усталеним, якщо температура окремих частин практично не змінюється в часі (зміна температури не перевищує 1⁰С за 1 год). При цьому можна вважати, що все тепло, котре виділяється в окремому елементі чи апараті вцілому, віддається в навколишнє середовище.

Задача теплового розрахунку в усталеному режимі може бути сформульована по-різному. Розглянемо декілька конкретних прикладів.

а) Нехай по струмопроводу квадратного поперечного перетину, довжини l, покритого ізоляцією класу «А» товщиною  з питомою теплопровідністю _із, протікає постійний струм I. Необхідно визначити допустимий струм, якщо площа поперечного перетину струмопровода q=a², а, а температура довкілля ₀. Струмопровід знаходиться у спокійному повітрі і коефіцієнт тепловіддачі з поверхні К_т відомий (за даними літератури).

Рис.7.4. Заступна теплова схема

У відповідності з умов задачі і схемою рис.7.4 можна записати наступне рівняння: (7.13) де - тепловий опір ізоляції;

- тепловий опір від зовнішньої поверхні до навколишнього середовища.

Таким чином, із (7.13) з урахуванням записаних вище теплових опорів і допустимої потужності, допустимий струм I_доп визначається однозначно:

(7.14)

Слід зауважити, що у випадку достатньо довгого струмопровода рівняння (7.13) можна записати для одиниці довжини.

б) Визначити перепад температури в ізоляції і температуру мідного безмежно довгого струмопровода діаметром d=25 мм, покритого шаром бакелізованого паперу товщиною =5 мм, якщо по ньому протікає змінний струм I частоти f=50 Гц. Струмопровід знаходиться у спокійному повітрі з температурою . Теплопровідність ізоляції _із і коефіцієнт тепловіддачі з поверхні К_т відомі.

Як і в попередньому випадку, заступна теплова схема буде такою самою (рис. 7.4), виходячи з якої рівняння запишеться у вигляді:

(7.15)

Враховуючи те, що радіус стрижня d/2 більший глибини проникнення електромагнітної хвилі (вираз (7.3)) на частоті 50 Гц, то тепловий потік (потужність) необхідно визначити з урахуванням ефекту витіснення струму:

(7.16)

де К_п - коефіцієнт поверхневих втрат (рис.7.1).

Рис. 7.5. До визначення теплового опору циліндричної стінки

В попередньому випадку тепловий опір RТ1 визначається як тепловий опір плоскої стінки товщиною . В даному випадку ізоляція струмопровода представляє собою пустотний циліндр, що вимагає відповідного уточнення при визначенні теплового опору. Якщо звернутись до рис.7.5 і для якоїсь поверхні 2rl на відстані r від осі провідника записати рівняння Фур’є, тоді: (7.17) Розділивши змінні і здійснивши інтегрування, отримаємо: (7.18)

З (7.18) одержимо

(7.19)

де

(7.20)

тепловий опір циліндричної стінки довжиною l. Тепловий опір від охолоджуваної поверхні до навколишнього середовища запишеться аналогічно, як і для попереднього випадку:

(7.21)

Для визначення теплоперепаду в ізоляції (7.15) необхідно доповнити ще рівнянням:

(7.22)

Таким чином, умови задачі будуть виконані, якщо рішити систему рівнянь (7.15) і (7.22) з урахуванням (7.16), (7.20) і (7.21).

в)Визначення температури нагріву багатошарових котушок електромагнітів.

Обмотки котушок в електричних апаратах є основними елементами різного роду електромагнітних механізмів. Однією з основних вимог, якій повинна задовольняти конструкція котушки, є забезпечення необхідного строку служби, що, в свою чергу, визначається її температурним режимом в процесі експлуатації.

Обмотка повинна бути розрахована таким чином, щоб, з одного боку, забезпечити необхідну намагнічувальну силу, а з другого - щоб її максимальна температура не перевищувала допустимої для прийнятого класу ізоляції. У багатьох практичних задачах для визначення температури зовнішньої поверхні котушки в усталеному режимі використовують форму Ньютона, відповідно з якою потужність Р, яка виділяється нагрітим тілом, дорівнює:

(7.23)

де S - площа охолоджуваної поверхні; К_Т - коефіцієнт тепловіддачі з поверхні; _пов і _о - температура зовнішньої поверхні і довкілля, відповідно;  - перевищення температури зовнішньої поверхні над температурою довкілля.

При розрахунку нагріву безкаркасних котушок площу охолоджувальної поверхні S визначають як площу всієї бокової поверхні, а у випадку котушок, намотаних на ізоляційні каркаси, - тільки площу зовнішньої бокової поверхні.

Котушки напруги в електричних апаратах, як правило, виконуються багатошаровими. Тому в такій котушці має місце теплоперепад за висотою внаслідок теплопередачі із внутрішніх шарів до зовнішніх і при тепловому рахунку, крім температури зовнішньої поверхні за (7.23), необхідно визначити температуру найбільш нагрітого шару. Розглянемо розв’язування цієї задачі за таких спрощуючих допущеннях:

1. реальну котушку довільного поперечного перетину зводимо до еквівалентної циліндричної виходячи з умови, що площа охолоджуючої поверхні еквівалентної і реальної котушки одинакові, тобто радіуси еквівалентної котушки визначаються як:

де П₁, П₂ - периметри реальної котушки по внутрішній і зовнішній поверхнях відповідно;

2) тепловіддача має місце лише з бокових поверхонь, а з торців - відсутня;

3) складна внутрішня структура котушки (мідь + ізоляція + просочувальні матеріали) з еквівалентною теплопровідністю _е;

4) питомі втрати в одиниці об’єму є незмінними (однаковими) по всьому об’ємові котушки.

Рис. 7.6. До визначення теплоперепаду в циліндричній котушці

При таких допущеннях можна записати рівняння, що описує закон розподілу температури за висотою намотування (в напрямку r) в стаціонарному режимі роботи, виходячи з рівняння балансу енергії для елементарного об’єму, виділеного із тіла котушки, як показано на рис.7.6.

(7.24)

де dP₁ - потужність, котра входить в елементарний об’єм; dP₂ - потужність, яка виділяється в даному об’ємі; dP₃ - потужність, котра виходить з цього об’єму.

Складові dP₁ і dP₃ запишемо, виходячи із рівняння Фур’є:

(7.25)

(7.26)

Потужність, яка виділяється в даному об’ємі запишемо через питомі втрати в одиниці об’єму тіла котушки:

(7.27)

де P=I²R - втрати в котушці, Вт; V - об’єм тіла котушки l - висота котушки.

Здійснивши диференціювання (7.26) і склавши (7.25), (7.26) і (7.27) у відповідності з (7.24), одержимо рівняння:

(7.28)

Доцільно перейти до змінної  - (перевищення температури):

(7.29)

тоді (7.28) запишеться у вигляді:

(7.30)

Це рівняння (7.30) описує закон зміни перевищення температури за радіусом, а розв’язком цього рівняння є:

(7.31)

Визначимо сталі інтегрування для випадку, коли тепловіддача має місце лише із зовнішньої бокової поверхні. Очевидно, що при такому допущенні:

при =_m на радіусі r=r₁.

Отже, продиференціювавши (7.31) по r і виконавши умову одержимо:

звідки тоді

(7.32)

Записавши перевищення температури ₁ і ₂ котушки на радіусах r₁ і r₂ у відповідності з (7.32) одержимо теплоперепад за висотою, а саме

(7.33)

Таким чином, перевищення температури найбільш нагрітого шару котушки (у випадку тепловіддачі лише із зовнішньої бокової поверхні) над температурою довкілля визначиться як

(7.34)

де _пов=₁; _пов і  - значення перевищення температур за (7.23) і (7.33), відповідно.

Аналогічно можна визначити теплоперепад в котушці у випадку тепловіддачі із зовнішньої і внутрішньої поверхні, якщо відомі відповідні коефіцієнти тепловіддачі з цих поверхонь. Очевидно, що в такому випадку найбільш нагрітий шар буде знаходитись на якомусь радіусі r_m. При цьому r₁r_mr₂.