7. Учебно-методическое обеспечение

Конспекты лекций, презентации прилагаются к учебно-методическому комплексу в электронном виде.

8. Организация самостоятельной работы студента

8.1. Задания для самостоятельной работы студентов

Задание 1.

Линейные алгоритмы.

1. Даны два ненулевых числа. Найти их сумму, разность, произведение и частное.

2. Даны два числа. Найти среднее арифметическое их квадратов и среднее арифметическое их модулей.

3. Скорость катера в стоячей воде V км/ч, скорость течения реки U км/ч (U < V). Время движения катера по озеру T₁ ч, а по реке (против течения) — T₂ ч. Определить путь S, пройденный катером.

4. Скорость первого автомобиля V₁ км/ч, второго — V₂ км/ч, расстояние между ними S км. Определить расстояние между ними через T часов, если автомобили: а) удаляются друг от друга; б) движутся навстречу друг другу.

5. Найти периметр и площадь прямоугольного треугольника, если даны длины его катетов a и b.

6. Дана длина ребра куба. Найти площадь грани, площадь полной поверхности и объем этого куба.

7. Найти длину окружности и площадь круга заданного радиуса R. В качестве значения Pi использовать значение 3,14159.

10. Найти площадь кольца, внутренний радиус которого равен R₁, а внешний радиус равен R₂ (R₁ < R₂). В качестве значения Pi использовать значение 3,14159.

11. Дана сторона равностороннего треугольника. Найти площадь этого треугольника и радиусы вписанной и описанной окружностей.

12. Дана длина окружности. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью. В качестве значения Pi использовать значение 3,14159.

13. Дана площадь круга. Найти длину окружности, ограничивающей этот круг. В качестве значения Pi использовать значение 3,14159.

14. Найти периметр и площадь равнобедренной трапеции с основаниями a и b (a > b) и углом при большем основании (угол дан в радианах).

15. Найти периметр и площадь прямоугольной трапеции с основаниями a и b (a > b) и острым углом (угол дан в радианах).

16. Найти расстояние между двумя точками с заданными координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂).

17. Даны координаты трех вершин треугольника, (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃). Найти его периметр и площадь.

18. Дано целое четырехзначное число. Используя операции div и mod, найти сумму его цифр.

19. Дано целое четырехзначное число. Используя операции div и mod, найти произведение его цифр.

20. Написать программу, которая вычисляет площадь треугольника по формуле Герона.

21. Для двух заданных вещественных чисел вычислить и вывести на экран коэффициенты приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются эти числа;

22. Вычислить периметр и площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность заданного радиуса;

23. Вычислить среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел;

24. По длинам двух сторон треугольника и углу (в градусах) между ними вычислить длину третьей стороны и площадь этого треугольника;

25. По заданным длинам трех сторон треугольника вычислить длины его высот, медиан и биссектрис;

26. Найти координаты точки, делящей в отношении n1 : n2 отрезок, заданный координатами своих концов;

27. Вычислить длины сторон треугольника по заданным координатам его вершин;

28. Вычислить длины медиан треугольника по заданным координатам его вершин.

29. Для заданного целого трёхзначного числа написать программы решения следующих задач:

а) вычислить сумму цифр числа;

б) вычислить разность между крайними цифрами числа;

в) определить число, полученное считыванием цифр данного числа справа налево.

Задание 2.

Логический тип. Разветвления. Условный оператор. Оператор выбора Select Case

1. Написать программы вычисления у по формулам:

а)

б)

в)

где ;

г)

2. Написать программы решения следующих задач:

а) найти корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0;

б) найти решение линейной системы:

в) определить максимальное по абсолютной величине из трех заданных чисел a, b, c;

г) упорядочить по возрастанию последовательность трех чисел a, b, c;

д) выяснить, можно ли из отрезков с длинами a, b, c построить треугольник, и определить тип треугольника;

е) вычислить расстояние от точки плоскости с координатами (х, у) до границы круга единичного радиуса с центром в начале координат;

ж) выяснить, поместится ли круг площади S₁ в квадрат площади S_2;

з) выяснить, пройдет ли кирпич с ребрами a, b, c в квадратное отверстие со стороной d;

и) вычислить расстояние от произвольной точки плоскости (х, у) до границы квадрата с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1_, 0);

к) переменной k присвоить номер четверти плоскости, в которой находится точка с заданными координатами х и у ;

л) решить уравнение при всех возможных значениях a, b, c.

3. Дан номер некоторого года (положительное целое число). Вывести соответствующий ему номер столетия, учитывая, что, к примеру, началом 20 столетия был 1901 год.

4. Дан номер некоторого года (положительное целое число). Вывести число дней в этом году, учитывая, что обычный год насчитывает 365 дней, а високосный - 366 дней. Високосным считается год, делящийся на 4, за исключением тех годов, которые делятся на 100 и не делятся на 400 (например, годы 300, 1300 и 1900 не являются високосными, а 1200 и 2000 - являются).

5. Даны координаты вершин треугольника - (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃). Проверить - находится ли начало координат на одной из его сторон?

6. Дано целое число, лежащее в диапазоне от -999 до 999. Вывести строку - словесное описание данного числа вида "отрицательное двузначное число", "нулевое число", "положительное однозначное число" и т.д.

Задание 3.

Операторы цикла. Вложенные операторы цикла

1. Даны десять чисел. Вывести их среднее арифметическое.

2. Дано целое число N и набор из N вещественных чисел. Вывести сумму и произведение чисел из данного набора.

3. Дано целое число N и набор из N ненулевых целых чисел. Вывести в том же порядке все четные числа из данного набора.

4. Дано целое число N и набор из N ненулевых целых чисел. Вывести в том же порядке номера всех нечетных чисел из данного набора и количество K таких чисел.

5. Даны целые числа K, N и набор из N целых чисел. Если в наборе присутствует число, меньшее K, то вывести True; в противном случае вывести False.

6. Дан набор ненулевых целых чисел; признак его завершения - число 0. Вывести количество элементов в наборе

7. Написать программу определения количества шестизначных “счастливых” билетов, у которых сумма первых 3 десятичных цифр равна сумме 3 последних десятичных цифр.

8. Вычислить k = n! с помощью операторов цикла с предусловием, с постусловием, со счётчиком.

9. Дано натуральное n и последовательность целых чисел . Написать программы решения следующих задач:

а) получить произведение тех членов последовательности, которые нечетны и отрицательны;

б) найти сумму и количество тех членов, которые делятся на 5 и не делятся на 7;

в) вычислить среднее арифметическое всех положительных членов последовательности;

г) выяснить, какое число встречается в последовательности раньше - положительное или отрицательное;

д) определить номер первого четного члена последовательности;

е) определить номер последнего нечетного члена последовательности;

ж) определить количество чисел в наиболее длинной последовательности из подряд идущих нулей;

з) найти наибольшее из четных и количество четных чисел;

и) имеются ли в последовательности два подряд идущих нулевых члена.

10. Дано натуральное n и последовательность вещественных чисел :

а) получить

б) проверить, упорядочена ли последовательность по убыванию или по возрастанию;

в) найти k, при котором ;

г) вычислить количество тех членов последовательности, для которых выполнено ;

д) найти длину наименьшего отрезка числовой оси, содержащего числа ;

е) найти произведение членов последовательности, расположенными между первым и вторым нулевыми членами.

11. Найти первый член последовательности, для которого выполнено условие , если последовательность образована по закону:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

e) ;

Задание 4.

Матрицы

1. Для каждой из трёх заданных квадратных матриц определить

а) след матрицы, то есть сумму диагональных элементов;

б) норму матрицы по формуле

.

2. Найти для каждой из трёх заданных прямоугольных матриц

а) сумму квадратов её элементов;

б) произведение положительных элементов;

в) минимальный элемент;

г) максимальный элемент и номера строки и столбца, на пересечении которых он находится.

3. Даны три прямоугольных матрицы. Получить из каждой новую матрицу путём

а) деления всех элементов на квадрат последнего элемента последней строки;

б) замены всех элементов, по абсолютной величине больших x,

на x;

в) замены нулями всех отрицательных элементов.

4. Каждую из трёх прямоугольных матриц преобразовать по правилу:

а) если последний элемент строки отличен от нуля, разделить на него все элементы этой строки;

б) если первый элемент столбца отрицателен, возвести в квадрат все элементы этого столбца;

в) разделить все элементы матрицы на элемент, наибольший по абсолютной величине;

г) домножить все элементы матрицы на минимальный элемент

этой матрицы;

д) все элементы каждой строки матрицы разделить на минимальный элемент этой строки;

е) все элементы каждого столбца матрицы домножить на максимальный элемент этого столбца.

5. Даны три прямоугольные матрицы. Получить для каждой из них вектор, каждая компонента которого:

а) сумма всех элементов соответствующей строки матрицы;

б) произведение всех элементов соответствующего столбца матрицы;

в) сумма отрицательных элементов соответствующего столбца;

г) произведение отрицательных элементов соответствующей строки;

д) количество нулевых элементов соответствующей строки матрицы;

е) число отрицательных элементов соответствующего столбца матрицы;

ж) минимальный элемент соответствующего столбца матрицы;

з) максимальный элемент соответствующей строки матрицы;

и) наибольший по абсолютной величине элемент соответствующей строки матрицы.

6. Для заданного двумерного массива (матрицы) с компонентами вещественного типа написать программы решения задач:

а) определить минимальный и максимальный элементы;

б) поменять местами строки с номерами i и j;

в) определить количество различных элементов матрицы, т.е. повторяющиеся элементы считать один раз;

д) определить, является ли матрица ортонормированной, т.е. такой, в которой скалярное произведение каждой пары различных строк равно 0, а скалярное произведение каждой строки на себя равно 1;

е) определить, является ли заданная квадратичная матрица магическим квадратом, т.е. такой, в которой суммы во всех строках и столбцах одинаковы;

ж) определить индексы всех седловых точек матрицы, т.е. таких элементов, которые являются наименьшими в своей строке и одновременно наибольшими в своем столбце.

7. Получить таблицу Пифагора - квадратную матрицу размером 10x10, элементы которой определяются формулой .

8. По заданной матрице получить новую, каждый элемент которой получается как среднее арифметическое имеющихся соседей соответствующего элемента исходной матрицы. Соседями элемента А_ij матрицы называют элементы A_kl, для которых

.

9. Подсчитать количество локальных минимумов заданной матрицы.

10. Найти максимум среди всех локальных минимумов заданной матрицы.

11. Определить, является ли заданная целая квадратная матрица:

а) симметричной относительно главной диагонали;

б) ортонормированной, т.е. такой, в которой скалярное произведение каждой пары различных строк равно 0, а скалярное произведение каждой строки на себя равно 1;

в) магическим квадратом, т.е. такой, в которой суммы элементов во всех строках и столбцах одинаковы.

12. Построчно вводится прямоугольная матрица. Преобразуйте матрицу, переставляя её строки и столбцы так, чтобы наибольший элемент оказался в правом нижнем углу.

13. Найти сумму двух прямоугольных матриц.

14. Найти произведение вектора на матрицу и произведение матрицы на вектор.

15. Найти произведение двух прямоугольных матриц.

16. Даны натуральное n и элементы квадратной вещественной матрицы четвёртого порядка, которые вводятся по строкам или столбцам. Вычислить n – ю степень этой матрицы.

17. Получить матрицу, транспонированную по отношению к заданной прямоугольной матрице.

18. Написать программу, позволяющую найти произведение матрицы на вектор.

19. Написать программу, позволяющую найти определитель матрицы.

20. Проверить, является ли матрица. В обратной для матрицы А.

21. Дана квадратная матрица 5-го порядка. Найти матрицу, обратную ей, или установить, что такой матрицы не существует.

22. Для заданной целой матрицы размером 5x7 напечатать индексы всех ее седловых точек. Седловой точкой считать элемент, являющийся наименьшим в своей строке и одновременно наибольшим в своём столбце или наибольшим в строке, но наименьшим в столбце.

23. Вывести квадрат, состоящий из клеток, заполненных числами от 1 до N² по спирали. Например, при N = 4 квадрат имеет вид:

1	2	3	4
12	13	14	5
11	16	15	6
10	9	8	7

24. Вывести квадрат, состоящий из клеток, заполненных числами от 1 до N² «змейкой». Например, при N = 4 квадрат имеет вид:

1	2	6	7
3	5	8	13
4	9	12	14
10	11	15	16

Задание 5.

Сортировка массивов. Поиск в массиве заданного элемента

1. Упорядочить массив по возрастанию (убыванию), используя метод прямого выбора.

2. Упорядочить массив по возрастанию (по убыванию) методом пузырька.

3. Упорядочить массив по возрастанию (по убыванию) методом вставок.

4. Реализовать поиск заданного элемента в упорядоченном массиве методом бинарного поиска,

5. Удалить из упорядоченного массива элементы, равные заданному значению.

6. Вставить в упорядоченный массив элемент, имеющий заданное значение, если он отсутствует в массиве.

7. Даны два упорядоченных по возрастанию массива. Получить путём слияния исходных массивов новый упорядоченный

а) по убыванию;

б) по возрастанию.

а) на месте старого массива;

б) в другом массиве.

8. Дана прямоугольная матрица. Упорядочить строки матрицы:

а) по возрастанию сумм элементов строк;

б) по возрастанию наименьших элементов строк;

в) по убыванию наибольших элементов строк.

Задание 6.

Процедуры и функции

1. Написать процедуру решения квадратного уравнения ах² + bх + с = 0

2. Написать процедуры, реализующие арифметические операции над комплексными числами, представленными в алгебраической форме:

а) определить сумму двух комплексных чисел;

б) определить разность двух комплексных чисел;

в) определить произведение двух комплексных чисел;

г) определить частное от деления двух комплексных чисел, если оно существует.

3. Написать процедуры, которые переводят комплексное число из арифметической формы представления в тригонометрическую и наоборот.

4. Написать процедуры, выполняющие следующие действия ]

над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме:

а) умножение двух комплексных чисел;

б) деление двух комплексных чисел;

в) возведение комплексного числа в степень с натуральным показателем n;

5. Написать программы решения следующих задач:

а) для заданного комплексного числа, представленного в алгебраической форме, и числа n определить все значения ;

б) определить корни уравнения с комплексными коэффициентами a, b, c;

в) определить корни приведенного кубического уравнения с действительными коэффициентами.

6. Написать функцию, вычисляющую сумму квадратов первых n натуральных чисел.

7. Написать функции для решения следующих задач:

а) для заданного значения х и точности вычислить сумму ряда

;

б) для заданного значения х и точности вычислить произведение

;

в) для заданного вещественного х и натурального n вычислить ;

г) для заданных натуральных n и m вычислить биноминальный коэффициент, используя формулу ;

е) для заданных натуральных n и m вычислить биноминальный коэффициент, используя определение

ж) для заданных координат двух точек плоскости вычислить расстояние между ними;

з) вычислить расстояние от точки (х, у) до прямой ;

и) вычислить угол в радианах между прямыми и ;

к) определить координаты точки пересечения двух прямых и и вернуть значение true, если точка существует, или значение false в противном случае.

8. Составить программы решения следующих задач с использованием функций:

а) вычислить используя для вычисления значения гиперболического тангенса формулу: ;

б) для заданного вещественного, положительного а вычислить величину ,

в) для заданных координат вершин двух треугольников определить тот, который имеет наибольшую площадь.