18. Приближенные формулы для разностей широт, долгот и азимутов

Выведем главные члены формул для разностей широт, долгот и азимутов, которые будут необходимы при преобразовании и упрощении поправочных членов в ряде формул.

Пусть даны координаты B₁ и L₁ точки А (рис. 18.1), расстояние s между точками А и В, азимут А_1·2 с точки А на точку В. Координаты точки В обозначим через В₂ и L₂ азимут с В на А — через А_2·1

Найдем разность широт b = В₂ — В₁, разность долгот l = L₂ — L₁ и разность азимутов

t = А_2·1 ± 180° - А_1·2 . Эта задача называется прямой геодезической задачей, и методы точного ее решения будут рассмотрены на дальнейших занятиях.

Рис. 18.1

Выберем на меридиане АР вспомогательную точку С таким образом, чтобы сечение первого вертикала в С проходило через В. Получим малый сфероидический треугольник АВС с прямым углом в С.

При малой длине сторон треугольника АВС мы можем рассматривать его как плоский и написать следующие равенства:

, (18.1)

(при этом мы допустили, погрешность порядка , как это будет показано в дальнейшем).

Обозначим широту точки С через В₀. Рассматривая АС как дугу меридиана, на основании (11.15) : , напишем:

. (18.2)

Пренебрегая различием М_m от M₁, напишем:

b₀ = s cosA_1·2[1]₁

Конечно, широты точек С и В не равны между собой; разность этих широт d, как будет показано далее, выражается формулой:

, (18.3)

т. е. d — величина порядка и при принятой нами точности мы можем ею пренебречь.

Для определения разности долгот точек А и В проведем в точке С нормаль к поверхности эллипсоида, которая пересечет его малую ось в точке n_c (рис. 18.2). Соединим точку n_c с точкой В и опишем из n_c как из центра, вспомогательную сферу с радиусом, равным единице. Эта сфера пересечется прямыми Рn_c „Вn_c, и Сn_c в точках с₁, b₁ и р₁, которые образуют вершины вспомогательного сферического треугольника с₁b₁р₁ (рис. 18.2).

Рис. 18.2

Обозначим: сторону c₁b₁ через с, угол при p₁ — через l, угол при b₁ — через 90° — t. Очевидно, сторона с₁р₁ будет по построению дополнением до 90° широты точки С, т. е. с₁р₁ = 90° — В₀ по построению же угол при точке c₁ равен 90°.

На основании (17.3):

с" = [2]₀ СВ = s sin А_1·2[2]₀. (18.4)

Из прямоугольного сферического треугольника с₁b₁ р₁ имеем:

cos B₀ = tg c ctg l,

sin с = tg t ctg В₀,

откуда, заменяя синусы и тангенсы малых дуг самими дугами, получаем:

. (18.5)

Напишем все формулы вместе:

. (18.6)

Выражение для t может быть написано из (18.5) иначе:

t" = l" sin B₀. (18.7)

Формулы (18.6) приближенны, и их ошибочность выражается членами порядка , что численно. может выразиться в нескольких секундах.

Координаты точки В₂ определятся теперь по формулам:

. (18.8)