11. Вычисление длины дуги меридиана

Пусть точка А (рис. 11.1) на меридианном эллипсе имеет широту В. Возьмем на бесконечно малом расстоянии ds от точки А точку А₁, имеющую широту B+dB; таким образом, разность широт точек А и А₁ ,соответствующая дуге меридиана ds, будет dB.

Рис. 11.1

Рассматривая элементарную дугу ds как дугу окружности с радиусом M, будем иметь:

ds = MdB,

или

.

Длина дуги меридиана между точками, имеющими широты В₁ и В₂, выразится так:

. (11.1)

Таким образом, вычисление длины дуги меридиана сводится к нахождению эллиптического интеграла вида

,

который, как известно, в элементарных функциях не интегрируется.

Для вычисления указанного интеграла разложим подинтегральную функцию в ряд по биному Ньютона, после чего почленно произведем интегрирование, удерживая необходимое число членов.

Разложение дает:

(11.2)

Для простоты дальнейших выкладок ограничимся членами с е⁴. Четные степени синусов, входящих в разложение функции , в ряд, заменим косинусами четных дуг согласно следующим равенствам:

Теперь формула (11.2) будет иметь вид:

(11.3)

Обозначая

(11.4), (11.5)

Подставляя найденное значение в (11.1), получим:

. (11.6)

Интегрируя почленно, найдем:

. (11.7)

Полученная формула является общей для дуги меридиана. Рассмотрим основные преобразования формулы (11.7) в зависимости от цели ее применения.

1. При вычислении геодезических таблиц, например для вычисления таблиц координат Гаусса, возникает необходимость вычислять длины дуг меридианов от экватора до точек дуги, расположенных через определенные интервалы широты. В этом случае начальная широта B₁ = 0. Переменной величиной при вычислении будет широта B₂ = В, поэтому формула (11.7) может быть оставлена без перегруппировки членов. Будем иметь:

(11.8)

Особенностью этого случая является то, что широта В может изменяться от 0 до 90°, длина дуги значительна, и вычисления следует вести, как правило, с большим числом членов.

2. При обработке градусных измерений с целью вывода размеров земного эллипсоида формула (11.7) становится неудобной. В этом случае широты концов измеренных меридианных дуг, участвующих в обработке градусных измерений, могут считаться постоянными; в отличие от предыдущего случая размеры эллипсоида (или поправки к некоторым приближенным их значениями подлежат определению. Поэтому нужно расположить члены ряда, выражающего дугу меридиана, так, чтобы около определяемых величин а, е², е⁴ и т. д. сгруппировать постоянные члены. Уравнения градусных измерений составляются обычно по отдельным дугам длиной не свыше 400 — 600 км, которым соответствуют разности широт приблизительно 4 — 6°. Так как эти дуги гораздо короче, чем дуги, рассматриваемые в первом случае, то число членов ряда, подлежащих удержанию, должно быть меньше.

Преобразуем формулу (11.7), учитывая изложенные соображения и заменяя разности синусов через произведения синусов и косинусов соответствующих углов:

(11.9)

Примем:

(как стоящий при коэффициенте с е⁴) и введем среднюю широту дуги В_m по формуле:

.

Получим:

(11.10)

или

(11.10΄)

Член , стоящий в последнем выражении, мал: даже при s = 2000 км, что соответствует , его значение будет равно

т. е. этим членом можно пренебречь. Поэтому далее:

,

причем в последнем выражении отброшены малые члены с е⁶ и е⁴ (B₂ – В₁)².

Делая приведение подобных членов по возрастающим степеням е и выражая разность широт в секундах, получим окончательно:

(11.11)

3. Для вычислений в триангуляции, когда стороны незначительны и редко превосходят 40-50 км, дадим более простую и удобную формулу. Обозначим:

.

Введем вспомогательную величину:

которая, очевидно, представляет собою длину дуги окружности с радиусом, равным радиусу кривизны меридиана в точке со средней широтой данной дуги. На основании (11.5) напишем:

Подставляем значения коэффициентов А, В, С:

(11.12)

Сравнивая (11.12) с (11.10'), получим:

Полагая в поправочном члене последней формулы a(1 — е²) =M_m, т. е. пренебрегая членами порядка s получим:

.

Окончательная формула для вычислений в триангуляции имеет вид:

. (11.13)

Формула (11.13) пригодна для расстояний до 400 км (при s = 400 км допущенная выше погрешность порядка даст ошибку в значении s, равную приблизительно 1 мм).

При s ≤ 45 км значение поправочного члена будет менее 1 мм, поэтому поправочный член в (11.13) можно отбросить и вычисления вести по формуле:

(11.14)

Следовательно, при длине дуги, меньшей 45 км, ее можно рассматривать как сферическую с центральным углом, равным разности широт ее конечных точек, и описанную радиусом меридианного сечения, соответствующим средней широте дуги.

На основании формулы (11.14) можно решить обратную задачу: зная длину дуги и среднюю широту ее, определить разность широт конечных точек дуги:

. (11.15)

Практически нередко приходится решать следующую задачу. Даны широта первой точки В₁, расстояние по дуге меридиана до второй точки s; требуется определить широту второй точки В₂. Имеем:

B₂=B₁ + (B₂ – B₁).

Для определения (B₂ – B₁) воспользуемся формулой (11.15); однако сразу по этой формуле искомая разность (B₂ – B₁) вычислена быть не может, так как неизвестна средняя широта В_m, по которой должен быть рассчитан радиус М или взята из таблиц величина [1]_m . Рассмотрим решение задачи с применением метода последовательных приближений.

В первом приближении вычисляют (B₂ – B₁), используя для определения [1] широту первой точки, и получают приближенное значение

(B₂ – B₁)₁ = s[1]₁,

и далее

(B₂)₁ = B₁ + (В₂— В₁)₁.

С этим значением широты второй точки вычисляют приближенно среднюю широту , используя найденную приближенную среднюю широту (В_m)₁, находят разность широт (B₂ — B₁)₂ и среднюю широту (В_m)₂ во втором приближении; далее, аналогично производят вычисления в третьем приближении, четвертом и т. д. до тех пор, пока два смежных приближения не дадут одинаковые результаты в пределах заданной точности, которые и будут окончательными.

При вычислении длин дуг свыше 45 км формулу (11.13) употребляют в логарифмическом виде:

. (11.16)

Известно, что

,

где х — малая величина, меньшая единицы, а μ — переходный модуль от натуральных логарифмов к десятичным.

Применяя это разложение к выражению (11.16), получим формулу для вычисления с помощью восьмизначных таблиц логарифмов:

. (11.17)

Используя прежние обозначения и, кроме того, обозначая

,

получим окончательно:

, (11.18)

причем последний член уравнения (11.18) выражен в единицах 8-го десятичного знака логарифма.

Коэффициенты А, В, С, которые были, введены ранее при выводе формул для дуги меридиана, для эллипсоида Красовского имеют следующие значения:

А = 1,005 051 7739,

В = 0,005 062 37764,

С = 0,000 010 62451,

D = 0,000 000 02081.

В табл. 1 приведены для справок длины дуг меридиана на эллипсоиде Красовского для некоторых широт с точностью до 0,1 м.

Таблица 1

B	Длина дуги меридиана (м)
	В один градус	В одну минуту	В одну секунду
0°	110 576,3	1842,9	30,7
30°	110 854,4	1847,6	30,8
60°	111 414,1	1856,9	30,9
90°	111 695,8	1861,6	31,0

П р и м е р 1. Вычислить длину дуги меридиана между двумя его точками (s > 45 км), широты которых равны В₁ = 46°59'10'',315; В₂ = 48°54'36'',482.

Вычисления производим по формуле (11.18), т. е.

,

по следующей схеме:

B2	48°54'36'',482 lg(B2 – B1)΄΄	3.8404 9296
B1	46°59'10'',315 lg[1]m	8.5102 3202
B2 – B1	1°55'26'',167 lgs΄	5.3302 6094
(B2 – B1)΄΄	6926'',167 Δ lgs	-4
Bm	47°56'53'',4 lgs	5.3302 6090
2Bm	95°53'47'' s	213 924,685 м
lgk	3.932-10 lgμ	9.638-10
lg(B2 – B1)΄΄2	7.681 lg108	8.000-10
lg cos2Bm	9.012-10 lg e2	7.826-10
	доп. lg8	9.097-10
lgΔ lgs	0.624-10 доп. lgρ΄΄2	9.371-20
Δ lgs	- 4.2 lg k	3.932-10

Для контроля длина той же дуги может быть вычислена по таблицам для вычисления координат Гаусса. В таблицах приводятся длины дуг меридианов от экватора -до заданных точек через одну минуту.

Искомая длина дуги меридиана в определится как разность дуг меридианов х₂ и х₁ от экватора до точек с широтами В₂ и В₁. Указания о порядке вычислений дуг приведены во введении к упомянутым таблицам.

Если длина дуги s ≤ 45 км, то, как следует из формулы (11.14), вычисление ведется по схеме примера в его первом и втором столбцах, но без вычислений поправочного члена.

П р и м е р 2. Вычислить широту В₂ точки 2, если известна широта В₁ точки 1 и расстояние s между этими точками, лежащими на одном меридиане (точка 2—севернее точки 1).

lg s = 4.494 2945, В₁ = 57°24'49'',218.

Задача решается методом приближений.

1-е приближение

lg s	4.49 429
lg[1]1	8.50 954
lg b''	3.00 383
b	+16'48'',8
B1	57°24'49'',2
B'2	57°41'37'',0

2-е приближение

B1	57°24'49'',2
½ b	+8.24,4
B΄m	57°33'13'',6
lg s	4.494 2945
lg[1]m	8.509 5279
lg b''	3.003 8224
b	16'48'',840
B1	57°24'49'',218
b	+16'48'',840
B''2	57°41'38'',058

3-е приближение

B1	57°24'49'',218
½ b	+8.24,420
Bm	57°33'13'',638

Так как величина [1]_m, соответствующая значению широты В_m полученной для решения задачи в третьем приближении, будет иметь то же значение, что и во втором, то в продолжении вычислений необходимости нет. Искомое значение широты для точки 2 будет В₂ = 57°41'38'',058.