Основные критерии статистических решений.

Рассмотрим решение задачи в общем виде, когда вероятности состояний природы либо вообще не существуют, либо не подда­ются оценке даже приближенно. В этом случае используются так называемые критерии для выбора решения, характеризующие точку зрения на ситуацию лица, принимающего решения.

Существует значительное число воз­можных подходов для решения данной задачи. Опишем лишь некоторые основные.

Максиминный критерий Вальда. Согласно этому критерию игра с природой ведется как игра с разум­ным, причем агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помешать нам достигнуть успеха. Оп­тимальной считается стратегия, при которой гаранти­руется выигрыш в любом случае не меньший, чем «нижняя цена игры с природой»

.

Если руководствоваться этим критерием, олицетво­ряющим «позицию крайнего пессимизма», надо всегда ориентироваться на худшие условия, зная наверняка, что «хуже этого не будет». Очевидно, такой подход - «перестраховочный», естественный для того, кто очень боится проиграть, - не является единственно возмож­ным, но как крайний случай он заслуживает рас­смотрения.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Этот критерий — тоже крайне пессимистический, но при вы­боре оптимальной стратегии советует ориентироваться не на выигрыш, а на риск. Выбирается в качестве оп­тимальной та стратегия, при которой величина риска в наихудших условиях минимальна

Сущность такого подхода в том, чтобы всячески избегать большого риска при принятии решения. В смысле «пессимизма» критерий Сэвиджа сходен с критерием Вальда, но само понятие «пессимизм» здесь пони­мается по-другому.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Этот критерий рекомендует при выборе решения не руко­водствоваться ни крайним пессимизмом («всегда рас­считывай на худшее!»), ни крайним, легкомысленным оптимизмом («авось кривая вывезет!»). Согласно этому критерию выбирается стратегия из условия

где — «коэффициент пессимизма», выбираемый меж­ду нулем и единицей.

При = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда; при = 0 - в кри­терий «крайнего оптимизма», рекомендующий выбрать ту стратегию, при которой самый большой выигрыш в строке максимален. При 0 < < 1 получается нечто среднее между тем и другим. Коэффициент выбира­ется из субъективных соображений - чем опаснее си­туация, чем больше мы хотим в ней «подстраховать­ся», чем менее, наша склонность к риску, тем ближе к единице выбирается .

Понятно, что выбор решения в условиях неопределенности условен, субъекти­вен. И все же в какой-то (ограниченной) мере мате­матические методы полезны и тут. Прежде всего, они позволяют привести игру с природой к матричной фор­ме, что далеко не всегда бывает просто, особенно когда стратегий много (в наших примерах их было очень мало). Кроме того, они позволяют заменить простое лицезрение матрицы выигрышей (или рисков), от ко­торого, когда матрица велика, может просто «зарябить в глазах», последовательным численным анализом си­туации с разных точек зрения, выслушать рекоменда­ции каждой из них и, наконец, остановиться на чем-то определенном. Это аналогично обсуждению вопроса с различных позиций, а в споре, как известно, рождает­ся истина.

Если рекомендации, вытекающие из различных критериев, совпадают , то можно смело выбрать рекомендуемое решение: оно скорее всего «не подведет. В противном случае необходимо воспользоваться здравым смыслом.

Не надо забывать, что в любых задачах обоснования решений некоторый

произвол неизбежен — хо­тя бы при построении ма­тематической модели, вы­боре показателя эффектив­ности.

Рассмотрим пример «игры с природой» 4×3, матрица выигры­шей которой (а_ij) дана в таблице 12 и, пользуясь крите­риями Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при = 0,6), определим оптимальное решение.

Таблица 12

	Н1	Н2	Н3
А1	20	30	15
А2	75	20	35
А3	25	80	25
А4	85	5	45

Для нахождения оптимальной стратегии по критерию Вальда подсчитаем ми­нимумы по строкам (см. таблицу 13) и выберем ту стратегию, при которой минимум строки максимален (равен 25). Это — стратегия А₃.

Таблица 13

	Н1	Н2	Н3	αi
А1	20	30	15	15
А2	75	20	35	20
А3	25	80	25	25
А4	85	5	45	5

Для нахождения оптимальной стратегии по критерию Сэвиджа перейдем от матрицы выигрышей (таблица 13) к матрице рисков (таблица 14), в правом дополнительном столбце записывая максимальное в строке значение риска r_i.

Таблица 14

	Н1	Н2	Н3	ri
А1	65	50	30	65
А2	10	60	10	60
А3	60	0	20	60
А4	0	75	0	75

Из чисел правого столбца минимальное значение r_i = 60 соответствует стратегиям А₂ и А₃. Они обе оптимальны по Сэвиджу.

Для нахождения оптимальной стратегии по критерию Гурвица ( =0,6) перепишем таблицу 12, но на этот раз в трех правых дополнительных столбцах новой таблицы 15 поставим соответственно минимум строки α_i, ее максимум ω_i и величину , округленную до целых единиц (см. таблицу 15).

Таблица 15

	Н1	Н2	Н3	αi	wi	hi
А1	20	30	15	15	30	21
А2	75	20	35	20	75	42
А3	25	80	25	25	80	47
А4	85	5	45	5	85	37

Максимальное значение h_i = 47 соответствуем стра­тегии A₃.