Задачи теории статистических решений

Близкой по идеям и методам к теории игр являет­ся теория статистических решений. От те­ории игр она отличается тем, что неопределенная си­туация не имеет конфликтной окраски — никто нико­му не противодействует, но элемент неопределенности налицо. В задачах теории статистических решений не­известные условия операции зависят не от сознатель­но действующего «противника» (или других участни­ков конфликта), а от объективной действительности, которую в теории статистических решений принято называть «природой». Соответствующие ситуации час­то называются «играми с природой». «Природа» мыс­лится как некая незаинтересованная инстанция, «поведение» ко­торой неизвестно, но, во всяком случае, не злонаме­ренно.

Рассмотрим игру с природой: у нас (сторона А) имеется т возможных стратегий А₁, А₂, ..., А_т; об обстановке можно сделать n пред­положений: H₁, Н₂, ..., Н_n. Расcмотрим их как «стра­тегии природы». Наш выигрыш a_ij при каждой паре стратегий A_i, H_j задан матрицей (таблица 9).

Таблица 9

	Н1	Н2	…	Нn
А1	a11	a12	…	a1n
А2	a12	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Аm	am1	am2	…	amn

Требуется выбрать такую стратегию игрока А (чис­тую или, может быть, смешанную, если это возможно), которая является более выгодной по сравнению с дру­гими.

С первого взгляда кажется, что эта задача похожа на игру двух игроков А и H с противоположными ин­тересами и должна решаться теми же методами. Но это не совсем так. Отсутствие противодействия со сто­роны природы делает ситуацию качественно другой.

Самый про­стой случай выбора решения в игре с природой — это случай когда какая-то из страте­гий игрока А превосходит другие («доминирует» над ними). В этом случае выигрыш при доминирующей стратегии при любом сос­тоянии природы не меньше, чем при других стратеги­ях, а при некоторых — больше.

Если даже в матрице игры с природой нет одной доминирующей над всеми другими, все же полезно посмотреть, нет ли в ней дублирующих стратегий и уступающих другим при всех условиях (как мы это делали, упрощая матрицу игры). Но здесь есть одна тонкость: так мы можем уменьшить только число стра­тегий игрока А, но не игрока Н - ему ведь все равно, много или мало мы выиграем! Предположим, что «чист­ка» матрицы произведена, и ни дублирующих, ни за­ведомо невыгодных игроку А стратегий в ней нет.

Чем же все-таки руководствоваться при выборе ре­шения? Вполне естественно, должна учитываться мат­рица выигрышей (а_ij). Однако в каком-то смысле кар­тина ситуации, которую дает матрица (а_ij), неполна и не отражает должным образом достоинств и недостат­ков каждого решения.

Поясним эту мысль. Предпо­ложим, что выигрыш а_ij при нашей стратегии A_i и со­стоянии природы H_j больше, чем при нашей стратегии A_k и состоянии природы H_d: а_ij > а_kd. Но за счет чего больше? За счет того, что мы удачно выбрали стра­тегию A_ij? Необязательно. Может быть, просто состоя­ние природы H_j выгоднее нам, чем H_d. Например, со­стояние природы «нормальные условия» для любой опе­рации выгоднее, чем «наводнение», «землетрясение» и т. п. Желательно ввести такие показатели, которые не просто давали бы выигрыш при данной стратегии в каждой ситуации, но отражали бы «удачность» пли «неудачность» выбора данной стратегии в данной ситуации.

С этой целью в теории решений вводится понятие «риска».

Риском r_ij игрока А при пользовании стра­тегией A_i в условиях H_j называется разность между выигрышем, который мы получили бы, если бы знали условия H_j и выигрышем, который мы получим, не зная их и выбирая стратегию A_i.

Очевидно, если бы мы (игрок А) знали состояние природы H_j, мы выбрали бы ту стратегию, при кото­рой наш выигрыш максимален. Этот выигрыш, макси­мальный в столбце H_j, мы уже раньше встречали и обозначили β_j. Чтобы получить риск r_ij, нужно из β_j вычесть фактический выигрыш а_ij

r_ij = β_j - а_ij .

Для примера возьмем матрицу выигрышей (а_ij) (таблица 10) и построим для нее матрицу рисков (r_ij) (таблица 11).

Таблица 10

	Н1	Н2	Н3	Н4
А1	1	4	5	9
А2	3	8	4	3
А3	4	6	6	2
βj	4	8	6	9

Таблица 11

	Н1	Н2	Н3	Н4
А1	3	4	1	0
А2	1	0	2	6
А3	0	2	0	7

При взгляде на матрицу рисков (таблица 28.4) нам становятся яснее некоторые черты данной «игры с природой». Так, в матрице выигрышей (а_ij)

(таблица 10) во второй строке первый и четвертый элементы равны друг другу. Однако эти вы­игрыши совсем не равноценны в смысле удачного вы­бора стратегии: r₂₁ = 1, r₂₄ = 6. Естественно, нам хотелось бы минимизировать риск, сопровождающий выбор решения.

Исходя из приведенных выше рассуждений возможны две постановки задачи о выбо­ре решения: при одной нам желательно получить мак­симальный выигрыш, при другой — минимальный риск.

Известно, что самый простой случай неопределен­ности - это «доброкачественная» или стохастическая неопределенность, когда состояния природы имеют ка­кие-то вероятности Q₁, Q₂, ..., Q_n и эти вероятности нам известны. В этом случае логичгл выбрать ту стратегию, для которой среднее значение выигрыша, взятое по строке, максимально

.

Необходимо отметить, что та же стратегия, кото­рая обращает и максимум средний выигрыш, обраща­ет в минимум и средний риск

,

так что в случае стохастической неопределенности оба подхода («от выигрыша» и «от риска») дают одно и то же оптимальное решение.

Допустим, что вероятности Q₁, Q₂, ..., Q_n в принципе существуют, по нам неизвестны. Иногда в этом случае предполагают все состояния природы рав­новероятными (так называемый «принцип недостаточ­ного основания» Лапласа). В других случаях для того, чтобы найти ориентировочные значения ве­роятностей Q₁, Q₂, ..., Q_n исполь­зуется метод экспертных оценок.